“經典”高考試題對教學的啟示
——2013年陜西卷理科第20題對解析幾何教學的啟示

福建

陳玉蘭 吳志鵬

(作者單位：福建省德化第一中學)

“經典”的試題之所以能成為后續教與學的示范，主要是試題的命制為教學提供了可模擬、可變式、可拓展和可借鑒的典范，具有很強的操作性和參考價值，很多高考試題都具備這種功能，能啟迪教師的教學.下面以2013年陜西卷理科第20題為例進行說明.

一、“經典”試題

1.(2013·陜西卷理·20)已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長為8.

(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡C的方程；

(Ⅱ)已知點B(-1,0),設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q,若x軸是∠PBQ的角平分線,證明直線l過定點.

二、又現新題

(Ⅰ)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(Ⅱ)設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

(Ⅰ)若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

三、試題對比

1.總體印象

2013年高考數學陜西卷理科第20題與2018年全國卷Ⅰ理科第19題、2019年全國卷Ⅰ理科第19題在整體上很相似,雖然我們并不知道命題專家是否以這道高考題為“原型”或參考這道高考題進行2018年和2019年這兩道解析幾何試題的命制，但2018年和2019年的這兩道解析幾何問題的設置確實與之有著“異曲同工”之妙：2018年全國卷Ⅰ理科第19題適當變換了2013年陜西卷理科第20題的條件，將拋物線變換成了橢圓，而第二小題都是以角平分線為載體進行問題的設計，相似度很高；2019年全國卷Ⅰ理科第19題只是適當變換了2013年陜西卷理科第20題的結論，將角平分線的問題改成了以向量為載體求弦長的問題，同樣也是“一脈相承”.

2.共同特征

它們考查的都是圓錐曲線的定義及其相關的幾何問題等核心知識，題目均能很好地貫徹、落實新課程標準，即了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用；能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題(直線與圓錐曲線的位置關系)和實際問題.題目設置具有條件簡潔、文字符號少、立意鮮明和結構精巧等共同特征，考查的內容為“角平分線”“向量相等”和“直線與圓錐曲線的位置關系”，對每個考生來說，都很熟悉，題目的入口寬，解題思路多樣；試題的第二問，從知識角度看，能夠考查學生對直線的方程、弦長的計算、角平分線的性質、圓錐曲線的幾何性質及直線與圓錐曲線的位置關系的理解程度；從數學思想方法看，考查了數形結合思想、函數與方程思想和化歸與轉化思想等數學思想方法；從能力角度看，考查了推理論證能力和運算求解能力，本題仍是解析幾何解答題的典型題，第二問不外乎用“三步曲”：第一步聯立直線的方程與圓錐曲線的方程，尋求坐標之間的關系；第二步利用幾何條件轉化為用坐標表示，或是利用向量相等進行坐標轉化；第三步，將第二步的結果代入第一步的表達式中得到結果——這幾乎是解析幾何問題的最終歸宿，試題雖然常規，但卻能有效地考查學生的層次性和差異性，主要表現在通過對所提供的條件以及對有關概念的準確理解，通過運算和推理獲得證明；通過圖形抓住問題的本質，得到不同的解題思路，這樣既考查學生抓住數學問題本質的靈敏度，又能考查學生思維的創造性.

3.兼具特色

2013年陜西卷理科第20題把學生熟悉的“角平分線”與x軸巧妙結合，從而凸顯試題圖形的對稱性，又使得試題的難度值下降，2018年全國卷Ⅰ理科第19題也正是如此；2019年全國卷Ⅰ理科第19題則是考查學生利用向量的“工具”即“坐標法”進行解題的能力，同樣使試題的計算量減少了很多，難度也有很大的下降，更符合新課標讓學生“多思少算”的思路.試題中圖形的巧妙結合，給考生創設了更多成功的機會，這樣的高考題自然成為高考復習訓練中教師優先選擇的典型題目.題目設計的“巧”與“活”為相似的三道高考試題注入了“靈性”，其所蘊含的思想方法凸顯在文字、符號和圖形中，這樣的題目無疑是高考題中的經典，也是今后教學中值得關注和研究的問題.

四、利用對2013年陜西卷理科第20題的解法探究，實現學生思維的多向發展

對于第一問，容易求得C的軌跡方程為y2=8x，下面僅對第二問進行解法探究.

思路1：利用點斜式設出直線l的方程為y=kx+b，與拋物線C聯立，得到一個一元二次方程，由根與系數的關系得到兩根的和與積，并利用x軸是∠PBQ的角平分線的性質(kQB+kPB=0)得到P，Q兩點的坐標關系式，進而化簡直線的方程，通過方程求得直線所過的定點.

解法1：證明：設直線l的方程為y=kx+b(k≠0)，

y1(x2+1)+y2(x1+1)

=y1x2+y2x1+(y1+y2)

由已知得y1+y2≠0，所以y1·y2=-8，即k=-b，此時Δ>0.

故直線l的方程為y=k(x-1)，過定點(1，0).

解法2：證明：設直線l的方程為y=kx+b(k≠0)，

若x軸是∠PBQ的角平分線，則點P關于x軸的對稱點為P′，

y1(x2+1)+y2(x1+1)

=y1x2+y2x1+(y1+y2)

由已知得y1+y2≠0，所以y1·y2=-8，即k=-b，此時Δ>0.

故直線l的方程為y=k(x-1)，過定點(1，0).

解法3：證明：設直線l的方程為y=kx+b(k≠0)，

若x軸是∠PBQ的角平分線，點P關于x軸的對稱點為P′，

則y1(x2+1)+y2(x1+1)=y1x2+y2x1+(y1+y2)

由已知得y1+y2≠0，所以y1·y2=-8，即k=-b，此時Δ>0.

故直線l的方程為y=k(x-1)，過定點(1，0).

思路2：由于∠PBQ被平分的兩個角和拋物線都關于x軸對稱，即點P關于x軸的對稱點P′在直線BQ與拋物線的交點上，即B，P′，Q三點共線，所以我們可以從直線BQ方程與拋物線C聯立的思想尋找條件，從而獲得解法4.

解法4：證明：設直線l的方程為y=kx+b(k≠0)，

若x軸是∠PBQ的角平分線，則點P關于x軸的對稱點P′在直線BQ上.

令直線lBQ的方程為x=my-1，

其中Δ>0,

則(-y1)·y2=8，即y1y2=-8,

即k=-b，此時Δ>0.

故直線l的方程為y=k(x-1)，過定點(1，0).

思路3:利用兩點式設出直線lPQ的方程，即直線lPQ的方程為8x-(y1+y2)y+y1y2=0，同理我們可以假設直線lP′Q(點P(x1,y1)關于x軸的對稱點P′(x1,-y1))的方程為8x-(y2-y1)y-y1y2=0，直線lP′Q過點B(-1,0)，所以y1·y2=-8，此種方法大大減少了計算量，從而得到解法5.

因為x軸是∠PBQ的角平分線，則點P(x1,y1)關于x軸的對稱點P′(x1,-y1)也在拋物線上，所以直線lP′Q的方程為8x-(y2-y1)y-y1y2=0,

因為直線lP′Q過點B(-1,0)，所以有y1·y2=-8,

直線lPQ的方程可化為-(y1+y2)y+8(x-1)=0,

故直線過定點(1，0).

解法6:猜想直線lPQ過定點M(1,0)，證明如下：

其中Δ>0,

令P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

則(-y1)·y2=8，即y1y2=-8,

因為(x1-1)y2-(x2-1)y1

=x1y2-y2-x2y1+y1

2018年全國卷Ⅰ第19題與2019年全國卷Ⅰ第19題，也存在多樣的探究思路，具有很強的廣闊性，也能夠遷移以上方法進行求解，有興趣的讀者可自行整理.

五、利用對2013年陜西卷理科第20題的變式與拓展實現高效率的教與學

方案1：適當改變條件，而不改變結論

變式1：已知拋物線C：y2=2px(p>0)和點B(-m,0)(m≠0)，設不垂直于x軸的直線l與C交于不同的兩點P,Q,若x軸是∠PBQ的角平分線,證明直線l過定點M(m,0).

變式2：將條件中的拋物線改成橢圓可得2018年全國卷Ⅰ理科第19題.

方案2：適當改變結論，而不改變條件

變式3：將結論中角平分線的條件變換成向量相等可得2019年全國卷Ⅰ理科第19題.

方案3：將條件和結論進行適當變換后重新組合

變式4：已知拋物線C：y2=2px(p>0)和點B(-m,0)(m≠0)，過點M(m,0)且不垂直于x軸的直線l與C交于不同的兩點P,Q,證明：∠PBO=∠QBO.

變式5：已知拋物線C：y2=2px(p>0)和點B(-m,0)(m≠0)，過點M(m,0)且不垂直于x軸的直線l與C交于不同的兩點P,Q,若點P關于x軸的對稱點為P′.證明：P′，M，Q三點共線.

變式方案有很多，進行變式研究與結論拓展是高效教學的一個重要方法，從2013年陜西卷理科第20題的變式與拓展中，我們能夠很好地感受其對學生數學素養形成的良好作用以及對教學的啟迪與示范.

六、反思與感悟