一道雙曲線離心率問題的多視角探究

甘肅

張 科 宋東榮

(作者單位：甘肅省蘭州市榆中縣恩玲中學)

眾所周知，圓錐曲線是高中數學中的重點和難點，在高考卷的選擇壓軸題中常常涉及與圓錐曲線有關的問題，特別是對圓錐曲線離心率問題的考查.下面筆者對一道有關求雙曲線離心率的問題從多個角度進行分析，以培養學生的推理論證能力和創新意識，促進思維能力和思維質量的提高.

C.2 D.3

一、代數視角

在解析幾何的學習中，我們經常使用數形結合的代數方法——坐標法來討論問題，有助于讓學生體會數形結合的思想方法，就此題用代數視角給出下面3種解法.

【賞析】此解法是常規解法，運用數形結合和直線方程有關知識使問題得以解決，培養學生的數學運算和直觀想象等數學學科核心素養.

化簡得c(ac+2a2-c2)=0，即ac+2a2-c2=0，兩邊同時除以a2得，e2-e-2=0，解得e=2和-1(舍).故選C.

解得e=2和-1(舍).故選C.

二、幾何視角

解析幾何的實質還是幾何，所以我們要善于發現圖形的幾何特征，以便更好地處理問題和培養學生的幾何直觀能力，基于幾何視角給出以下3種解法.

解法4:由直角三角形內切圓的性質可知，|PF2|+|F1F2|-|PF1|=2r=c，又由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=2a，兩式相加得|F1F2|=c+2a，

即2c=c+2a，得到c=2a，解得e=2.故選C.

又因為PE過點E，

【賞析】此解法應用雙曲線的光學性質和過雙曲線上任意一點的切線方程的知識，使得問題的解決得心應手.

解法6：如圖，設四邊形OF2PQ的內切圓與邊PF1，F1F2，PF2的切點分別為T，M，K，由雙曲線的定義和切線長定理知|PF1|-|PF2|=|F1T|-|KF2|=|F1M|-|MF2|=2a，

【賞析】此法應用了雙曲線的定義和平面幾何知識中切線長定理的相關知識，使問題得以解決，體現出應用幾何法解決某些解析幾何問題的簡潔性和直觀性，有助于學生的直觀想象核心素養的形成.

三、結論視角

結論：內切圓的圓心橫坐標一定等于|a|.

證明：如圖所示，

∵|F1D|-|F2D|=|F1P|-|F2P|=2a=(c+xD)-(c-xD)，

∴xD=a.

根據上面的結論，我們得到如下解法.

解法7：由雙曲線焦點三角形的性質可知，△PF1F2的內切圓有且只有一個，且圓心的橫坐標一定等于|a|，即四邊形OF2PQ的內切圓也就是△PF1F2的內切圓.

又由題意知，內切圓同時與x=c和x=0相切，于是2a=c，即e=2.故選C.

【賞析】此法運用雙曲線焦點三角形內切圓有且只有一個，且圓心橫坐標一定等于|a|的結論.使解題過程更加簡潔，也體現出“小題小做”.

四、幾點思考

1.存在問題

從本道試題的測試結果分析：試題的得分率較低，學生不能有效地獲取a,c的關系求出離心率，引發問題出現的根本原因與學生數學基礎薄弱、運算能力差以及對解析幾何題的恐懼心理有很大的關系，也與我們復習過程中“就題論題”，不能充分關注和激發具有生命活力的課堂有很大關系.

2.歸納小結

本題從不同的視角探究雙曲線的離心率問題，總結出求離心率的三種思路.

①求出a,b,c三個量中的任意兩個，然后利用離心率的計算公式求解；

②求出a,c或a,b或c,b之間的關系，然后利用離心率的計算公式求解；

③構造出關于離心率e的方程求解.

思路的歸納總結有助于教師的教與學生的學，教學中能根據題目的結構特征探索出解決問題的相應模型，既培養了學生的數學建模能力，同時也提升了教師數學建模的能力和意識，教學能更有效地助推學生思維的發展.

3.研究示范