以矩形為背景的折疊問題

胡洋洋

【摘 要】圖形折疊問題核心實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱性質(zhì)，也是中考考查軸對(duì)稱性質(zhì)的主要題型，內(nèi)容涉及求線段長(zhǎng)度、角度、面積、三角函數(shù)值等，本文主要以矩形為背景，來尋求折疊問題的解題策略。將從低階思維轉(zhuǎn)向高階思維，讓學(xué)生參與變式、自主歸納解題方法策略，從而激發(fā)思維活力。

【關(guān)鍵詞】折疊;全等形;點(diǎn)的對(duì)稱性;模型思想;方程思想

【中圖分類號(hào)】G634.6?????? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】2095-3089（2019）24-0271-01

一、設(shè)計(jì)說明

1.學(xué)情分析。

筆者所教班級(jí)學(xué)生兩極分化較為嚴(yán)重，多數(shù)學(xué)生思維較活躍，主動(dòng)參與、自主探究意識(shí)和能力相對(duì)較強(qiáng)，但也有少數(shù)學(xué)生在知識(shí)的理解、應(yīng)用上尚存在一定不足。

本節(jié)課的復(fù)習(xí)重點(diǎn)是理解軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握以矩形為背景折疊問題的解決方法。難點(diǎn)在于能夠靈活選擇解決矩形為背景的折疊問策略方法。

2.設(shè)計(jì)思想。

折疊問題的實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱變化，而軸對(duì)稱是幾何圖形變化的重要內(nèi)容，在生活和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著廣泛應(yīng)用，在歷年中考中多次涉及。

復(fù)習(xí)目標(biāo)確定為通過折疊活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)折疊的實(shí)質(zhì)，通過幾個(gè)矩形折疊問題尋求解決此類問題的基本策略和方法，形成解題模型。

二、范例設(shè)計(jì)

1.課堂引入。

請(qǐng)同學(xué)們拿出事先準(zhǔn)備好的矩形紙片，在BC上找一點(diǎn)F，使AB沿著AF折疊后，B點(diǎn)恰好落到邊AC上。

折好后：（1）向同伴說說你是怎么找的？

（2）試著在草紙上畫出你得到的圖形。

說明：學(xué)生解答本題可能更多的通過動(dòng)手操作來判定，在肯定學(xué)生思維正確的基礎(chǔ)上，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中通過現(xiàn)象看本質(zhì)：折疊的實(shí)質(zhì)就是軸對(duì)稱變化。注意引導(dǎo)學(xué)生回憶軸對(duì)稱的性質(zhì)：1.圖形的全等性;2.點(diǎn)的對(duì)稱性：對(duì)稱點(diǎn)連線被對(duì)稱軸（折痕）垂直平分。

2.例題講評(píng)。

例1（原創(chuàng)）通過引例，我們能得到如下的圖形，如果AB=6，BC=8，你能求出BF的長(zhǎng)嗎？

思考：（1）你能用不同的方法求BF的長(zhǎng)嗎？

（2）你還能求出哪些量？

說明：本例題設(shè)計(jì)的目的在于鞏固軸對(duì)稱的性質(zhì)1——圖形的全等性。教師要引導(dǎo)學(xué)生看到折疊問題關(guān)注全等形，尋找BF所在的直角三角形，由形想數(shù)，彩筆標(biāo)注相等的量。對(duì)于能做出一種方法的同學(xué)及時(shí)表揚(yáng)，鼓勵(lì)。學(xué)生可能想到的方法有代數(shù)法（前兩種）和幾何法（后兩種）。

（1）尋找折疊后余下的一個(gè)直角三角形，利用勾股定理建立方程求線段BF的長(zhǎng)度。

（2）利用三角函數(shù)。

（3）尋找折疊后余下的兩個(gè)直角三角形，利用相似（ΔADC≌ΔCEF）建立方程。

（4）等面積法（求ΔACF的面積，可得CF·AB=EF·AC）

不管學(xué)生利用哪種方法，都要提醒學(xué)生關(guān)注圖形變化中的不變量，用不變的量去求解變的量。思考（2）重點(diǎn)關(guān)注面積，三角函數(shù)值、角度的求值。

本例題以矩形為背景，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵三角形（折疊中“余下”的一個(gè)或多個(gè)三角形），從不同角度（勾股定理、相似三角形、三角函數(shù)、面積）通過建立方程求線段長(zhǎng)，體現(xiàn)生長(zhǎng)性，學(xué)生的思維得到激活，同時(shí)進(jìn)一步理解知識(shí)間的聯(lián)系，體會(huì)方程思想在求折疊問題中的價(jià)值，提高學(xué)生的認(rèn)知水平。

變式：引導(dǎo)學(xué)生變出類似于例1的題目

說明：通過變式教學(xué)強(qiáng)化對(duì)“折疊”是一種軸對(duì)稱變化的理解，幫助學(xué)生形成軸對(duì)稱的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生能夠自覺從數(shù)、形兩個(gè)層面對(duì)“折疊”這類操作性問題進(jìn)行分析。學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，可能會(huì)畫出一兩種，老師補(bǔ)充一些常見的折疊圖形。

重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生觀察，除全等形外，原矩形“余下”直角三角形個(gè)數(shù)，進(jìn)行分類。

“余下”兩個(gè)直角三角形：

考慮幾何法（K型相似）

“余下”一個(gè)直角三角形：

考慮代數(shù)法（勾股定理建方程）

沒有“余下”直角三角形：

考慮構(gòu)造K型相似

通過變式和分類的過程中，學(xué)生知道尋找解決這類題的基本支架——找到折疊“余下”的直角三角形，從不同角度建立方程，有利于學(xué)生思維的靈活性。

三、教學(xué)建議

本節(jié)教學(xué)活動(dòng)中，估計(jì)學(xué)生會(huì)因?yàn)閷?duì)相關(guān)圖形的對(duì)稱性的應(yīng)用不太熟練，這就需要教師在教學(xué)中注重概念和性質(zhì)的再梳理，充分暴露學(xué)生的思維過程，教師應(yīng)及時(shí)的引導(dǎo)、點(diǎn)撥和總結(jié)。在解題思路尋求思路時(shí)注重引導(dǎo)學(xué)生思考“怎么想到的？”“為什么這樣想？”“從哪個(gè)角度思考？”等問題。對(duì)于例1的變式，個(gè)別學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，可能會(huì)想到一兩種折疊圖形，教師應(yīng)及時(shí)鼓勵(lì)，但是大部分學(xué)生會(huì)遇到困難，教學(xué)時(shí)，應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生通過折一折等活動(dòng)嘗試，學(xué)生不可能想到所有的情況，教師應(yīng)及時(shí)補(bǔ)充。

本節(jié)設(shè)計(jì)的目的是為學(xué)生提供解決折疊問題的基本策略，在課堂小結(jié)環(huán)節(jié)應(yīng)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，折疊問題應(yīng)該從兩個(gè)方面考慮，一個(gè)是全等形，一個(gè)是點(diǎn)的對(duì)稱性。不管從哪個(gè)方面都要尋找直角三角形，一個(gè)直角三角形時(shí)都是利用勾股定理建立方程，兩個(gè)直角三角形利用相似建立方程，只不過前一個(gè)是K型相似，后一個(gè)是斜A型相似。