問題驅動教學法在數值分析課程教學中的研究與實踐

王建云　田智鯤

【摘 要】通過分析數值分析課程的特點、教學現狀以及存在的問題，提出將問題驅動教學法應用到數值分析的教學實踐之中，以各種實際的“問題”為導向，將抽象的數學知識具體化，用“問題”來驅動課堂教學，激發學生內在的學習動力，引導他們積極主動地參與到教學的整個過程。

【關鍵詞】問題驅動教學法;數值分析;教學研究

中圖分類號： G434 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2019）29-0083-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.29.038

1 數值分析課程的特點和教學現狀

數值分析又稱為計算方法，是數學科學的一個重要分支，主要研究用計算機求解各種數學問題的數值計算方法及軟件實現。不僅是信息與計算科學、數學與應用數學等專業的一門核心專業課程，而且很多工科類專業也開設了該課程。數值分析是研究各類數值問題的算法，其在流體力學、彈性力學、電磁波、飛機制造、水壩建設等領域的問題中都有廣泛的應用。數值分析既有純數學高度的抽象性、嚴謹的理論性和縝密的邏輯性，又具有實際應用的廣泛性和數值實驗的技術性，理論與實踐的緊密結合是該課程的特點之一。數值分析中的很多知識內容都是為了解決實際問題而產生的，內容具有廣泛的物理背景或實際應用價值是該課程的特點之二[1]。

數值分析傳統教學中存在的問題主要有：第一，課程內容多，教學課時少。數值分析涉及的知識面廣且跨度大，計算公式繁雜難記，然而教學通常只有40課時甚至32課時，導致部分內容得不到細致的講解。然而很少有學生主動與老師互動交流，往往是被動學習和消極應付考試，這樣易使他們產生畏難和厭學情緒，從而達不到良好的教學效果;第二，重理論，輕實踐。數值分析是一門與計算機緊密相結合的數學類課程，傳統的教學往往偏重講授數值方法的原理和理論推導，而忽視了算法的應用背景、設計思想和軟件實現。可以利用數學軟件MATLAB進行數值實驗，加深對理論知識的掌握，同時鍛煉了學生解決實際問題的能力。第三，教學方法單一。長期以來我們的課堂教學偏向于“母乳喂養”方式，造成學生缺乏自己“覓食”的習慣和能力，再加上缺乏實踐環節的教學，沒有實驗的深刻體會，就使得學生不能全面地理解和運用書中的算法[2]。第四，學生參與度不高。源于學生的自制力差，目前處在信息化時代，手機和筆記本電腦等電子可移動終端進入教室，導致學生的課堂注意力受到干擾和影響，使得他們的專注力和課堂參與度下降。

2 問題驅動教學法的適用性

問題驅動教學法是基于問題式學習提出的，以建構主義學習理論為基礎的一種新興的教學模式，是啟發式教學法的延伸。該教學方法本質上體現了我國古代孔子“不憤不啟，不悱不發”的教學理念，即由教師提出問題，學生積極思考，待學生處于“憤”的狀態，教師才點撥啟發，讓學生繼續思考，再待到學生進入“悱”的狀態，教師再誘導，使學生“柳暗花明”[3]。主要思想是在課堂教學中結合一些關鍵問題，激發學生的學習興趣，使學生帶著問題去思考和探究，讓他們掌握學習的主動權。問題驅動教學法的教學過程，一般可分為提出問題、分析問題、結果評價等四個環節。首先由老師提出問題，問題的設置應結合課堂所授知識點。接著以該問題為導向，引導學生分析和思考知識的內涵，激發學生運用理論知識解決實際應用問題的興趣。然后讓學生自己尋找解決問題的方法，培養學生解決實際問題的動手能力。最后老師對結果進行總結評價，經過老師的“點”，問題變不通為通，經過老師的“撥”，難點由難變不難。將問題驅動教學法應用到數值分析這樣一門數學類課程的教學，旨在把隱藏在“冰冷的形式”后面的數學思想呈現出來。這時， 數學將會呈現出引人入勝的斑斕色彩[4]。

3 問題驅動教學法的實踐

3.1 問題的設計

問題驅動教學法的核心和關鍵是問題的設計，德國數學家康托曾說過：“數學領域中，提出問題的藝術比解答問題的藝術更為重要。”但設計一個好的問題并不容易，如何提出學生感興趣的、有意義的且富有挑戰性的問題是一件比較費勁的事情。根據數值分析的內容特點以及教學目的，問題的設計原則應該遵循以下幾個方面。原則之一是抽象數學的形象化。即找到抽象數學知識所對應的自然界的物質原型，任何數學問題都有其對應的物質原型（即對問題的形象化刻畫與描述），數學理論和知識絕不是“憑空而降”的，問題是豐富多彩的數學科學的源泉。所以設計問題時都要注意與其本身對應的物質原型聯系，追本溯源。例如在講授插值法和多項式逼近的時候，會講到在實際中，經常是通過實驗和測量等方法，僅僅獲得函數在一些離散點上的函數值，要得到函數的解析表達式是非常困難的。這時，如何利用這些已知數據得到函數解析表達式的近似形式，就變得尤為重要和具有實際意義，插值和逼近恰好可以完成這個工作，此時學生就知道了插值和逼近可以處理何種問題，然后我們再給學生展示出一個具體的實例，例如設有一個年產量50萬噸的鋼鐵廠，現在需要統計其生產費用，由于該廠的各項數據資料部分丟失，已經無法進行統計。在這樣一種情況下，統計部門收集了在人員、設備、生產能力等方面和該廠非常接近的5個鋼鐵廠的數據資料，如何根據已知5個鋼鐵廠的資料來比較準確地估計該廠的生產費用呢？可以利用拉格朗日插值，構造插值多項式來求解這樣一個問題[5]。原則之二注重知識點的連貫性。當講解新知識點的時候，先復習舊的知識點，讓學生找出新舊知識點之間的一些關系和橋梁，然后過渡到新知識點的學習。通過對新舊知識點進行對比，可以發現新舊知識之間的區別和聯系，從而進一步加深對新知識點的理解何掌握。例如，在講解兩點三次Hermite插值的時候，其公式的推導比較煩瑣，學生不是很好理解，其實公式建立也是類似于Lagrange插值基函數的思想和原理，老師帶領大家進行前后兩節知識的學習對比，以舊帶新。同時，告訴學生Hermite插值也可以利用前面章節里學習到的重節點牛頓插值來做，同時比較兩種方法之間各自的特點和優劣勢，加深對其理解和掌握。原則之三是點線面相結合。數值分析課程的一些知識點相對有點零散，就好像一顆顆散落的珍珠。通過問題驅動教學法的實施，讓學生自己動手在解決相關問題的過程中，逐漸熟悉和尋找到這些珍珠，進一步將這些珍珠串成精美的項鏈，從而全面了解到知識結構的系統性。例如，在課程的“插值法、數值積分、常微分方程的數值求解”這三個章節內容的講授上，可以對幾個知識點進行串聯和歸納。在前面講解了多項式插值以后，那么在后面講解數值積分的時候，告訴學生數值積分的原理就是把被積函數進行多項式插值，用多項式近似替換其他復雜的被積函數。比如梯形公式，就是將被積函數進行兩點線性插值，辛普森公式就是被積函數進行拋物線插值等。在最后講解常微分方程數值解法的時候，可以介紹其中的數值求解方法的原理，就是考慮將方程右端的積分采用什么樣的數值積分公式，如果采用矩形積分公式，就是歐拉法和向后歐拉法，如果采用梯形積分公式，就是梯形法，如果采用多節點插值型求積公式，就是龍格庫塔法。

3.2 問題的分析

在整個教學過程中問題的分析是學生最樂于參與的環節，也是問題驅動教學法的一個重要步驟。老師先提出相關的問題，然后引導學生對相應的問題進行分析和解決，一環緊扣一環，一層一層地向前推進，將課堂的知識重點由淺入深、由易到難、由表及里詳細地進行闡述，從而形成波浪式和遞進式的課堂教學結構，在這個教學實施過程中需遵循幾個相關的原則。第一個原則是進行適當的拋磚引玉。老師圍繞提出的問題，可以先拋出一些相關的案例，給學生充分思考的時間，而不要急于將參考答案公布。法國大文豪伏爾泰說得好“令人討厭的藝術就是把什么都說了出來”[6]。例如，在講解多項式插值的龍格現象時，可以先舉例說明二次插值比線性插值要精確，隨后提出問題“是不是多項式插值的次數越高越好呢？”。從而引發學進一步生的思考，再闡述龍格現象來進行問題的講解和回答。第二個原則是講究循序漸進。老師在提出一系列的問題時，要合理安排這些問題的先后次序，尤其是對內容的重點和難點，要由易到難形成一種“階梯”狀態，引導學生層層突破關卡，引領他們“拾階而上”。例如在講解求解線性方程組的直接法時，先提出求解二元一次線性方程組，相信學生這時候都會做，其實就是利用了高斯消去法，然后再推廣到求解一般的N階線性方程組的高斯消去法，讓學生初步認識和理解高斯消去法的基本原理，就是將方程組的系數矩陣通過初等變換化成上三角矩陣。第三個原則是要總結反饋。老師對整個實施的過程需要進行總結，并對學生的反應要及時進行反饋。美國心理學家貝蒙認為，通過評定人們的行為能改變個體的自我知覺，從而影響個體態度的改變和行為方式的變化。對學生的積極參與和主動學習要給予肯定和表揚，對在問題分析或數值實驗過程中出現的錯誤要及時指出。

4 結語

在問題驅動教學法的實施過程中，老師是問題的提出者、課程的設計者和結果的評估者。老師在課程講授的時候通過構建“問題鏈”，創設問題情景，恰當地呈現問題，激發學生內在的學習動力，引導他們由“知”內化為“識”，并付諸于“行”，讓他們積極主動地參與教學。使得學生在分析和解決問題的過程中，充分理解、吸收和掌握抽象的理論知識，鍛煉他們的實踐動手能力和科研創新能力，進一步提高課堂的教學效果。

【參考文獻】

[1]何滿喜.數值分析課程教學的幾點體會及研究[J].中國大學教學，2011（3）：54-56.

[2]杜廷松.關于《數值分析》課程教學改革研究的綜述和思考[J].大學數學，2007，23（2）：8-15.

[3]聶存云，陳曉玲，楊繼明，顏衛人.問題驅動式教學法在數值分析課程教學中的應用與研究—以插值法為例[J].湖南工程學院學報（社會科學版），2016，26（2）：100-104.

[4]張奠宙，張蔭南.新概念：用問題驅動的數學教學[J].高等數學研究，2004，7（3）：8-10.

[5]王建云，田智鯤，張發明，趙育林.數學建模思想融入數值分析課程的改革與實踐[J].當代教育理論與實踐，2018，10（6）：50-53.

[6]滕吉紅，黃曉英，袁博.問題驅動式教學模式在高等數學教學中的探索[J].高等教育研究學報，2012，35（4）：89-90.