注重培養數學建模能力 提升數學核心素養

李永聲

[摘 ? 要]數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段，培養學生的數學建模能力，對于發展其數學應用能力，提升數學核心素養具有十分重要的意義.

[關鍵詞]思維能力;數學建模能力;核心素養;變量關系

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2019）26-0030-02

數學建模指的是對現實問題進行抽象，用數學語言表達問題，用數學知識與方法構建模型解決問題.在核心素養的導向下如何發展學生的數學建模能力是廣大教師應當深入探討與實踐的重要課題.下面筆者根據自身的教學實踐經驗，圍繞四個維度展開簡單的論述.

一、分析變量關系，厘清數據

模型的假設和變量關系之間的確定對于數學建模來說是最為關鍵、最為重要的一步.如果變量關系理解錯誤，那么后續數學建模的過程都會變得沒有意義.因而筆者認為，教師應當注重加強對學生分析變量關系的訓練，引導他們厘清數據，然后根據變量關系建立數學模型，提高他們的數學建模能力.

比如，我在教學《一元一次不等式》時，組織學生對不等式模型進行探究與學習，引導他們通過訓練感受數量間的不等關系.在課堂上，我向學生提出問題：某體育用品商城采購員要到廠家批發購買籃球和排球，共100個，要求付款額不得超過11815元，已知籃球的批發價為130元，商場零售價為160元，排球的批發價為100元，商場零售價為120元.（1）請問該采購員最多可以采購多少個籃球？（2）若該商城能夠把100個球全部賣出，且所獲得的利潤不低于2580元，那么請問采購員要采購多少個籃球，可以盈利多少？隨后學生開始分析題目中的數量關系，并構建不等式模型.例如，對于第（1）問，可以設籃球個數為x，那么130x+100（100-x）≤11815，解得x≤60.5.因為x要取正整數，所以最多可以采購60個籃球.

通過訓練，學生能夠對數據進行分析，將實際問題轉化成相應的不等式問題，建立不等式模型，然后利用不等式的性質加以解決.

二、繪制圖像表格，直觀解讀

數形結合是一種重要的數學思想，通過利用這一思想，學生可以“以形助數”、于“形”中覓“數”.根據圖形去尋求幾何關系，尋找解決問題的途徑.我認為，教師要善于引導學生用圖像、表格等去闡述數學問題中的數據關系，從而厘清思路、激活思維，對數量關系進行解讀與剖析，提高數學建模的效率.

比如，教學《反比例函數》時，我引導學生學習幾種常見的反比例函數的幾何模型，然后提出問題：在直角坐標系中，一次函數y=k1x+b的圖像與反比例函數y=k2/x的圖像交于A（1，4）、B（4，1）兩點，則△AOB的面積是 .為了解決這一問題，學生利用數形結合思想，繪制了如圖1所示的圖像，用待定系數法確定一次函數與反比例函數的解析式，再利用圖像中的幾何關系求解出△AOB的面積.緊接著，我對該問題進行變式.變式一：在直角坐標系中，一次函數y=k1x+b的圖像與反比例函數y=k2/x的圖像交于A（1，4）、B（3，m）兩點，則△AOB的面積是.變式二：已知直線y=1/2x與雙曲線y=k/x（k>0）交于A、B兩點，且A的橫坐標為4，求k的值.學生抽象出求解這類反比例函數問題的幾何模型，如圖2所示，若反比例函數y=k/x（k≠0，x>0）上任意兩點P、C，過P作PA垂直與x軸于點A，過C作CD垂直x軸于點D，則證明△OPC的面積=梯形PADC的面積.

數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微.”我通過引導學生利用圖形去探求數學問題中的數量關系，有效提高了他們的數學建模能力和數學核心素養.

三、尋找隱性規律，多元整合

很多數學問題，學生可以根據題目直接梳理出相應的數量關系，進而建立數學模型.然而有些時候，題目中的變量關系可能并不明確，這時候就需要學生去尋找題目中蘊含的隱性規律，并進行多元整合.因此，教師在對學生進行數學建模的訓練過程中，應當增加問題的難度，使他們學會根據已經掌握的數據與線索來深度探究其中的隱性規律，然后進行整合建模.

比如，教學《一次函數》時，為了提高學生應用一次函數模型解決問題的能力，我提出問題：張老師從家里提著一個籃子打算去菜市場買10斤雞蛋，已知籃子的重量為0.5斤，當菜市場的攤主將放好了10斤雞蛋的籃子遞給張老師時，他發現這次比以往買10斤雞蛋的個數少很多，他再次讓攤主稱重，共稱得10.55斤，但張老師卻說這只有9斤的雞蛋，要求攤主返還他1斤雞蛋的錢.大家知道張老師是怎么知道攤主少稱了大約1斤的雞蛋呢？隨后我開始引導學生探索題目中的隱含規律.設雞蛋的實際重量為x，秤顯示的重量設為y.若攤主沒有作弊，則y=x;若攤主作弊，無非是想讓y的值大于x.假設攤主為了讓y>x，在秤盤底下加了吸鐵石，此時的數量關系應為y=x+a.例如a為5兩，那么稱出來5斤的東西實際上是4斤5兩，但是攤主事先并不知道顧客會買多少重量的東西.如果只買1斤的話，缺斤少兩很容易被發現，因此可以推測攤主調整了他的秤，使得y與x的數量關系為y=kx（k>1）.由此可以建立一次函數模型：k（x+0.5）=10.55.又因為10=kx，兩式聯立可以得到k=1.1，x=9.09，也就是說攤主少了張老師大約1斤的雞蛋.

我通過設計題目，引導學生去探究其中的隱含規律，進一步幫助他們強化課堂所學知識，提高了他們思維的靈活度，取得了很好的教學效果.

四、結合現實生活，學以致用

數學來源于生活，又應用于生活.新課標明確提出了“教學生活化”的要求.由此可見，廣大教師要注重結合現實生活設計題目，引導學生進行數學建模的訓練，使他們在學習過程中，能夠在實際的生活情境中發現和提出問題，針對問題建立數學模型并求解，提升他們的數學應用能力，使他們做到學以致用.

比如，教學《等可能條件下的概率》時，我引導學生體會并學習描述不確定現象的數學模型，學生知道了等可能條件下概率的計算方法：P（A）=m/n.其中m代表事件A發生可能出現的結果數，n表示一次試驗所有可能出現的結果數.為了提高學生應用這一數學模型求解實際問題的能力，我聯系現實生活，設計了如下練習題：為舉辦畢業聯歡會，小利設計了一個游戲，游戲者分別轉動如圖3所示的兩個可以自由轉動的轉盤一次，當兩次轉盤的指針所指的字母相同時，他就獲得了一次指定一位到會者為大家表演節目的機會，那么這種機會獲得的可能性到底有多大呢？請大家嘗試利用所學概率知識計算參與一次游戲獲得這種指定機會的概率.學生首先用列表的方法表示出了所有可能出現的結果，然后根據上述數學模型，求解得到了概率為1/6.

我結合實際生活，設計有關數學建模的練習題目，使學生認識到生活中的概率問題，體會到概率模型在生活中的應用與價值，拉近了數學與學生的距離，有效激發了他們學習數學的興趣.

總而言之，培養學生的數學建模能力，有助于使他們在數學核心素養的形成過程中，積累用數學知識解決實際問題的經驗，使之學習“有用的數學”，實現新課標的教育主張，提高課堂教學的效果與質量.廣大教師在教學過程中應當重視和培養學生在數學建模方面的能力，善于設計多元的數學建模活動與探究活動，不斷發展其數學核心素養.

（責任編輯 黃桂堅）