轉盤-物塊模型的臨界問題

摘 要：文章就常見的轉盤-物塊模型的臨界問題，從無繩到有繩，深入淺出地進行探討。通過高考題的引入，加深對轉盤-物塊模型的理解和應用，先滑動的條件只與軸的距離有關，而與質量無關。

關鍵詞：勻速圓周運動;最大靜摩擦力;繩子張力

中圖分類號：G633.7

文章編號：2095-624X（2019）21-0053-02

例1.如圖所示，小物體A與水平圓盤保持相對靜止，跟著圓盤一起做勻速圓周運動，A與轉軸OO′的距離為l，木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g，用ω表示圓盤轉動的角速度，A恰好發生相對滑動的角速度ω是多少？

[解析]小木塊A做圓周運動時，由靜摩擦力提供向心力，當角速度增加時，靜摩擦力增大，當增大到最大靜摩擦力時，發生相對滑動，對木塊A：fa=mωa2l，當fa=kmg時，ωa=√—

變式：（2014·安徽卷）如圖所示，一傾斜的勻質圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度ω轉動，盤面上離轉軸距離2.5 m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止。物體與盤面間的動摩擦因數為—（設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力），盤面與水平面的夾角為30°，g取10 m/s2，則ω的最大值是（）

A.√5rad/s B.√3rad/s

C.1.0rad/s D.0.5rad/s

[解析]：小物塊最易滑動的位置，應在最低點，對滑塊進行受力分析。由牛頓第二定律得μmgcos30°-mgsin30°=mω2r，解得ω=1.0 rad/s，C正確。

答案：C。

例2.（多選）（2014·新課標全國Ⅰ·20）如圖所示，兩個質量均為m的小木塊a和b（可視為質點）放在水平圓盤上，a與轉軸OO′的距離為l，b與轉軸的距離為2l，木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，用ω表示圓盤轉動的角速度，下列說法正確的是（）

A.b一定比a先開始滑動

B.a、b所受的摩擦力始終相等

C.ω=√—是b開始滑動的臨界角速度

D.當ω=√—時，a所受摩擦力的大小為kmg

答案：AC

分析：由例1、例2可知，離軸越遠，臨界角速度越小，越容易先滑動，而與質量無關。

例3.（2017·河北八所重點中學聯考）兩個質量分別為2m和m的小木塊a和b（可視為質點）放在水平圓盤上，a與轉軸OO′的距離為L，b與轉軸的距離為2L，a、b之間用長為L的強度足夠大的輕繩相連，木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍，重力加速度大小為g。若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，開始時輕繩剛好伸直但無張力，用ω表示圓盤轉動的角速度，下列說法正確的是（）

A.a比b先達到最大靜摩擦力

B.a、b所受的摩擦力始終相等

C.ω=√—是b開始滑動的臨界角速度

D.當ω=√—時，a所受摩擦力的大小為—

[解析]木塊隨圓盤一起轉動，當繩子上無拉力時，b先達到最大靜摩擦力，故A錯誤。在b的摩擦力沒有達到最大前，由Ff=mω2r，a、b質量分別是2m和m，而圓周運動的半徑r分別為L和2L，所以開始時a和b受到的摩擦力是相等的;當b受到的靜摩擦力達到最大后，即ω>√—，對于b木塊有：kmg+F=mω2·2L，對于a木塊有f-F=2mω2L，聯立得f=4mω2L-kmg>kmg，可知二者受到的摩擦力不一定相等，故B錯誤。b剛要滑動時，對b木塊有kmg+F=mω02·2L，對a木塊有k·2mg-F=2mω02L，聯立得kmg+2kmg=4mω02L，得ω0=√—，故C錯誤。當ω=√—時，b未滑動，a所受摩擦力大小f=4mω2L-kmg=—，故D正確。

[答案]D

例4.如圖所示，在勻速轉動的圓盤上，沿直徑方向上放置以細線相連的A、B兩個小物塊。A的質量為mA=2kg，離軸心r1=20cm，B的質量為mB=1kg，離軸心r2=10cm，A、B與盤面間相互作用的摩擦力最大值為其重力的0.5倍，試求：

（1）當圓盤轉動的角速度ω0為多少時，細線上開始出現張力？

（2）欲使A、B與盤面間不發生相對滑動，則圓盤轉動的最大角速度為多大？（g=10m/s2）

[解析]（1）ω較小時，A、B均由靜摩擦力充當向心力，ω增大，可知F=mω2r，它們受到的靜摩擦力也增大，而r1>r2，所以A受到的靜摩擦力先達到最大值。ω再增大，AB間繩子開始受到拉力。

由Ffm=m1ω02r2，得：ω0=√—=√—=5rad/s

（2）ω達到ω0后，ω再增加，B增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同來提供，A增大的向心力靠增加拉力來提供，由于A增大的向心力超過B增加的向心力，ω再增加，B所受摩擦力逐漸減小，直到為零，如ω再增加，B所受的摩擦力就反向，直到達最大靜摩擦力。如ω再增加，就不能維持勻速圓周運動了，A、B就在圓盤上滑動起來。設此時角速度為ω1，繩中張力為FT，對A、B進行受力分析：

對A有Ffm1+FT=m1ω12r1，對B有FT-Ffm2=m2ω12r2

聯立解得：ω1=√—=5√2rad/s=7.07rad/s

參考文獻：

[1]劉蘇杰.關于“水平轉盤”問題[J].教育實踐與研究，2005（6）.

[2]楊天才.“轉盤-雙物塊”模型圖象化處理[J].教學考試，2017（4）.

作者簡介：丁艷利（1973—），女，中學一級教師，本科，研究方向：高中物理教學。