自適應改進雙樹復小波變換的齒輪箱故障診斷*

陳旭陽， 韓振南， 寧少慧

(1.太原理工大學機械工程學院 太原，030024) (2.太原科技大學機械工程學院 太原，030024)

引 言

基于各種原因，機械設備采集到的振動信號普遍存在噪聲干擾，使得故障特征提取成為故障診斷的重點和難點。離散小波變換在分解過程中的隔點抽樣和重構過程中的隔點插零造成的虛假頻率成分，易產生較嚴重的頻率混疊，雙樹復小波變換的頻率混疊抑制特性在很大程度上抑制了頻率混疊現象的產生，但不能從根本上消除頻率混疊現象。因此為了準確提取故障特征，有效地將信號展開，從特定的頻率段中識別故障特征，避免頻率混疊的方法具有非常重要的意義。雙樹復小波變換(dual-tree complex wavelet transform,簡稱DTCWT)是傳統離散小波變換的改進方法[1]，即用奇、偶濾波器組實現小波的分解與重構，不僅具有傳統小波的時頻局部化分析能力，而且有離散小波所不具備的抗頻率混疊性、近似平移不變性、完全重構性、有限的數據冗余和高效的計算效率等優良性質[2-3]。

Dragomiretskiy等[4]提出一種自適應信號處理方法——變分模態分解(variational modal decomposition,簡稱VMD)。該方法通過迭代搜尋變分模型最優解來確定每個分量的頻率中心及帶寬從而能夠自適應地實現信號的頻域剖分及各分量的有效分離[5]。摒棄了遞歸篩分剝離這一信號分解方式的束縛，因此能夠有效緩解或避免模態混疊、過包絡、欠包絡、邊界效應等一系列問題，具有較高的運算效率及良好的噪聲魯棒性。

峭度作為分析信號有無故障的指標，是無量綱參數，它與載荷、尺寸、轉速等無關，對強沖擊故障較為敏感，非常適用于診斷表面損傷類故障。峭度指標絕對值越大的分量中含有故障沖擊的成分越多。依據峭度最大原則選取出相關頻段信號做分析，可以有效地檢測到瞬態信號。峭度指標絕對值越大，故障越嚴重。

本研究將雙樹復小波變換與變分模態分解(dual-tree complex wavelet transform-variational mode decomposition,簡稱DTCWT-VMD)結合,提出了一種改進雙樹復小波變換方法,將其應用于齒輪箱振動信號故障特征提取。由于采用變分模態分解將雙樹復小波變換得到的窄帶信號進行自適應分解,從根本上消除了頻率混疊現象,提高了信號分解的信噪比和頻率選擇性。仿真和實驗分析結果表明,該方法能有效地消除頻率混疊現象,減少頻率干擾，有效識別故障特征。

1 基本理論

1.1 雙樹復小波變換

雙樹復小波變換采用二叉樹結構的兩路濾波器組進行信號的分解和重構，一樹生成實部，一樹生成虛部，合理設計實、虛部樹低通濾波器，滿足半采樣延遲條件，具有近似平移不變性。兩樹濾波器采樣頻率相同，但是它們之間的延遲恰好是一個采樣間隔，這樣虛部樹中第1層的二抽取恰好采到實部樹中二抽取所丟掉的采樣值，在獲得了復小波變換的平移不變性的同時避免了大量的計算并且具有容易實現的優勢。

圖1所示為3層雙樹復小波分解和重構過程。

小波函數表示

ψ(t)=ψh(t)+iψg(t)

(1)

其中：ψh(t)，ψg(t)為兩個實小波；i為復數單位。

圖1中，虛線上方實部樹變換的小波系數和尺度系數可由式(2)和(3)計算

(2)

(j=1,2,…,J)

(3)

圖1 雙樹復小波變換分解和重構Fig.1 Decomposition and reconstruction of double-tree complex cavelet transform

同理，下方虛部樹變換的小波系數和尺度系數可由式(4)和(5)計算

(4)

(j=1,2,…,J)

(5)

因此，可得到雙樹復小波變換的小波系數和尺度系數

(6)

(j=1,2,…,J)

(7)

最后，雙樹復小波變換的小波系數和尺度系數可由式(8)和(9)重構

(8)

(9)

雙樹復小波變換后的重構信號可表示為

(10)

1.2 變分模態分解

VMD的目標是基于經典維納濾波-希爾伯特變換和混頻的變分問題，根據信號自身的頻域特性完成頻帶的劃分，并將其分解為指定個數的本征模態函數分量，在再現輸入時具有特定的稀疏特性。該方法在獲取分解分量時通過迭代搜尋變分模型最優解來確定每個分量的頻率中心及帶寬從而能夠自適應地實現信號的頻域剖分及各分量的有效分離[5-7]。在信號分解精度和噪聲魯棒性方面具有明顯優勢，但需預先確定模態數k，而目前k只能靠先驗知識進行預估。如果預估的k與實際信號存在差異，會導致分解誤差較大。

假定將原始信號分解為k個IMF分量，則對應的約束變分模型表達式[8]為

(11)

其中：{uk}={u1,…，uk}為分解得到的k個IMF分量；{ωk}={ω1,…，ωk}為各分量的頻率中心。

為求上式約束變分的最優解，引入如下增廣Lagrange函數，即

L({uk},{ωk},λ)=

(12)

其中：α為懲罰參數；λ為Lagrange乘子。

利用交替方向乘子算法ADMM更新以上參數和求取上述增廣Lagrange表達式式的鞍點[9]。具體實現步驟如下：

2) 執行循環：n=n+1;

(13)

4) 更新ωk

(14)

5) 更新λ

(15)

6) 重復步驟(2)～(5)，直到滿足迭代停止條件

(16)

結束迭代，得到k個IMF分量。

1.3 粒子群優化

不同于進化類算法的復雜遺傳因子的過程，粒子群優化算法采用速度-位移模式進行全局優化搜索。同時繼承人工智能的記憶特性，可以根據當前最好的那個粒子位置及時調整搜索策略，是一種高效的搜索算法[10]。

粒子群算法的思想來源是鳥群覓食的群體共享機制模擬。每個粒子都是解空間中的一個解，根據自己和同伴的經驗隨時改變自己的速度和位置從而到達目標地點。每個粒子的最優解即個體極值為pb，而整個群體的最優解即全局極值為gb，每個粒子都是通過pb和gb隨時調整自己的位置和速度。改變位置和速度的公式為

Vi(t+1)=ωVi(t)+c1rand(pbi-xi(t))+

c2rand(gb-xi(t))

(17)

Xi(t+1)=xi(t)+Vi(t)

(18)

具體步驟為

1) 初始化各粒子的速度和位置。

2) 確定一個適應度函數，適應度函數為雙樹復小波分解各分量的峭度最大值。

3) 比較粒子個體與種群的適應度值，粒子中峭度值最大的粒子為個體最優值，種群中峭度值最大的粒子為種群最優值。

4) 通過式(17，18)更新粒子的速度和位置。i表示第i個粒子，t表示迭代次數，rand為[0 1]上的隨機數，c1,c2為學習因子。一般情況下,種群規模t取10次,視問題的復雜程度而定;ω取0.4～1;c1和c2都取1.0。每次更新位置時計算一次適應度值。

5) 計算粒子和種群的適應度值，與前一步中的個體和種群最優值進行比較，更新個體和種群最優值。判斷新種群是否達到終止條件即各層分解后各分量的峭度最大值所對應的分解層數，達到則執行步驟6，否則繼續執行步驟4。

6) 退出迭代，輸出全局最優值(即峭度最大值所在的分解層數)。

2 實施流程

2.1 實施步驟

1) 通過粒子群尋優，尋找最優分解層數。

2) 雙數復小波分解并分別對低頻、高頻分量進行單支重構。

3) 對各重構后高頻分量分別進行變分模態分解，并通過最大峭度值尋找各高頻分量經過分解后的主頻分量。

4) 分析雙數復小波分解并單支重構后的低頻分量以及經過上述步驟處理后的各高頻分量的頻譜圖。

5) 分別與只進行雙樹復小波分解以及只進行變分模態分解后的頻譜圖對比，并得出結論。

2.2 流程圖

圖2 流程圖Fig.2 Flow chart

3 仿真結果分析

構造如下齒輪局部故障仿真信號驗證本方法的可行性和有效性，調制-載波信號的表達式

x(t)=(|sin(100πt)|+|sin(200πt)|)·

|sin(400πt)|

(19)

圖3為該信號波形圖和頻譜圖。圖4為上述仿真信號各分量信號單獨的波形圖和頻譜圖。

圖3 仿真信號波形及頻譜Fig.3 Simulation signal waveform and spectrum

圖4 各分量信號波形及頻譜Fig.4 Each component signal waveform and spectrum

圖5為信號經過雙樹復小波三層分解后的各分量信號的波形圖和頻譜圖。從圖中可以看出，分解后得到的信號分量比較接近圖4原仿真信號各分量波形，但是b2和b3分量存在頻率混疊現象，而且在b2，b3中有鄰帶頻率成分，分解效果不是很理想。

圖5 雙樹復小波分解各分量波形及頻譜Fig.5 Double wave complex wavelet decomposition of components and spectrum

圖6為用VMD方法分量個數k取3分解得到的波形圖和頻譜圖，從波形圖可以看到分解效果不理想，和圖4原仿真信號的波形相差較大。

圖7為用本方法經雙樹復小波各高頻分量經過變分模態分解后用最大峭度值提取出的最佳分量的波形及頻譜圖，從圖中可以看出分解效果非常理想，基本沒有頻率混疊現象，消除了雙樹復小波會產生的奇行波以及鄰帶頻率現象。

圖7 DTCWT-VMD分解各分量波形及頻譜Fig.7 This method decomposes the components of the waveform and spectrum

4 實驗結果分析

筆者設計試驗臺通過扭力桿產生的內力進行加載，轉速用電動機進行調節。實驗齒輪的傳動比為 1∶1，采取半齒嚙合，圖8為本研究實驗臺。

圖8 實驗臺Fig.8 Test stand

粒子群尋優過程中峭度值隨種群進化代數的變化見圖9，圖中為適應度曲線，終止次數為10。從圖中可以看出3層以后的峭度最大值趨于定值。本研究采用3層為最優分解層數。

圖9 適應度值隨分解層數的變化Fig.9 The change of the fitness value with the number of decomposition layers

設計電動機轉速保持在1 200 r/min左右，扭矩為800 N左右，采樣頻率為12 000 Hz，嚙合頻率為210 Hz，通過傳感器，信號采集儀采集到的無故障實驗信號波形圖、頻譜圖和包絡譜圖如圖10所示。

圖10 無故障信號波形及譜圖Fig.10 No fault signal waveform and spectrum

圖11 故障信號波形及譜圖Fig.11 Fault signal waveform and spectrum

圖11為電動機轉速保持在1 200 r/min左右采集的有故障的實驗信號，由于故障信號(齒輪點蝕)比較微弱，而且淹沒在強背景噪聲下，從頻譜圖中看出存在邊頻成分和干擾成分。可以看出當齒輪出現點蝕時，出現了嚙合頻率和半頻的邊頻成分，其幅值不均一，正常齒輪頻譜在110和210 Hz處有明顯峰值。

圖12為信號經三層雙樹復小波分解得到的信號的波形圖及頻譜圖，嚙合頻率出現在b2分量中，半頻110 Hz出現在b3分量中，倍頻的各次諧波出現在b1高頻分量中。較好的分離出齒輪的嚙合頻率及半頻。但是在高頻分量b1和b2以及b3中可以看出存在頻率混疊現象,存在嚴重的鄰帶頻率現象。

圖12 故障信號經雙樹復小波分解波形及頻譜Fig.12 Wavelet decomposition waveform and spectrum of fault signal by double tree complex vavelet

圖13為信號經VMD分量個數k取3所得波形及頻譜圖。從圖中可以看出雖然不存在頻率混疊現象，但是丟失了嚙合頻率半頻成分，分解效果不理想。

圖13 故障信號經VMD分解波形及頻譜Fig.13 Wavelet decomposition waveform and spectrum of fault signal by VMD

圖14為本方法(DTCWT-VMD)對故障信號經雙樹復小波分解各高頻分量再進行三層VMD分解所得各個峭度值最大分量的波形及頻譜圖(只是處理后的各高頻分量頻譜圖)。從圖中可以看出很好地分離出了嚙合頻率及半頻成分以及倍頻的各次諧波，而且不存在頻率混疊現象。通過與圖14對比可以看出，分解效果理想。從b1和b3分量中存在邊頻成分且從圖12中看出出現邊頻成分，且本方法處理后的干擾頻率較少，驗證了本方法的可行性和有效性。

圖14 故障信號經本方法分解波形及頻譜Fig.14 Wavelet decomposition waveform and spectrum of fault signal by this method

5 結束語

為了克服雙樹復小波變換產生頻率混疊的缺陷,提出了改進雙樹復小波變換的故障診斷方法。由于雙樹復小波分解不同分解層數會影響分解效果，分解層數少則分解效果不理想容易丟失有用信息，而分解層數太大則容易頻率混疊，因此將峭度值作為適應度函數，通過粒子群選擇最優分解層數。仿真和實驗信號結果表明，與雙樹復小波分解及VMD分解效果相比，該方法不僅能夠消除信號處理中頻率混疊現象,提高了信噪比和頻帶選擇的正確性,而且還提高了從強噪聲環境中提取瞬態沖擊特征的能力。