絕對值的“奧秘”

“絕對值”是初中數學中的一個重要概念，是比較有理數大小和進行有理數運算的基礎。求絕對值是解與絕對值相關問題的關鍵，也是大多數同學的學習難點。求絕對值的“秘訣”有哪些呢？我們一起來了解。

一、直接求絕對值

當a>0時，[a]=a;當a=0時，[a]=0;當a<0時，[a]=-a。先判斷絕對值符號里數的正負性，再去掉絕對值符號。

例1 已知3

【解析】結合已知條件，先判斷每一個絕對值符號里的數是正數還是負數或0，再根據求一個數的絕對值的方法去掉絕對值符號。

解：因為當30，x-5<0，所以︱x-3︱+︱x-5︱=（x-3）-（x-5）=2。

二、分類討論求絕對值

當已知條件中，無法判斷絕對值符號里式子的正負性時，要用分類討論。

1.絕對值中涉及多個字母時，要考慮各個字母取值的所有情形。

例2 求式子[aa]+[bb]+[abab]的值。

【解析】根據a、b符號的所有可能情況，去掉絕對值符號是解答本題的關鍵。

解：由題意知，a≠0，b≠0，所以分4種情況討論：

（1）當a>0，b>0時，原式=1+1+1=3;（2）當a>0，b<0時，原式=1-1-1=-1;（3）當a<0，b>0時，原式=-1+1-1=-1;（4）當a<0，b<0時，原式=-1-1+1=-1。

綜上：原式的值為3或-1。

2.某個字母與多個絕對值相關時，要用“零點分段”討論法。

“零點”是指使式子等于0的未知數的值。如代數式[x-4]的零點就是方程x-4=0的解，即x=4。一般來說，一個題目中有幾個不相同的絕對值，就有幾個式子，對應就有幾個零點，如代數式[x+2]+[x-4]中有兩個不同的絕對值，對應有兩個零點，即x+2=0的解和x-4=0的解，即x=-2，x=4。

“分段”是指將題目中所求出的所有零點在數軸上標出，將數軸分成若干小段。如有兩個零點時，在數軸上標出后，可以發現數軸被這兩個點分成了3段。一般來說，有n個不相同的零點，就把數軸分成（n+1）段。

例3 化簡代數式[x+2]+[x-4]。

【解析】第一步：由題意得原式的零點為x+2=0的解和x-4=0的解，即x=-2，x=4。

第二步：將求得的所有零點在數軸上標出來，如圖1所示，數軸被分成3段：

（1）x<-2;（2）-2≤x≤4;（3）x>4。

<E：＼資料備份＼初中生＼2019＼7年級＼9＼俞琴賢-1.tif>

圖1

第三步：在分出的每一段線段內，討論絕對值符號里式子的正負性，然后去掉絕對值符號，求出絕對值。

解：（1）當x<-2時，原式=-（x+2）-（x-4）=-2x+2;（2）當-2≤x≤4時，原式=（x+2）-（x-4）=6;（3）當x>4時，原式=（x+2）+（x-4）=2x-2。

三、巧用絕對值的幾何意義求絕對值

數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以互相轉化。“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，在解絕對值相關問題時，同學們可借助數軸，利用絕對值的幾何意義巧解絕對值。解題時要做到“腦中有圖，心中有數，數形結合，優勢互補”。

例4 閱讀下列材料：

[a]的幾何意義是：數軸上表示數a的點與原點之間的距離。則[a-b]的幾何意義是：數軸上表示數a的點與數b的點之間的距離。例如，[a-1]的幾何意義：數軸上表示數a的點與數1的點之間的距離;[a+2]的幾何意義：數軸上表示數a的點與數-2的點之間的距離。

請利用絕對值的幾何意義求：

當-2≤x≤5時，[x+2]+[x-5]的值。

【解析】如圖2，[x+2]+[x-5]表示數軸上x到-2的距離與x到5的距離之和。當-2

≤x≤5時，[x+2]+[x-5]表示數軸上-2到5之間的距離，該距離為7。

<E：＼資料備份＼初中生＼2019＼7年級＼9＼俞琴賢-2.tif>

圖2

變式1 求代數式[x+2]+[x-5]的最小值。

【解析】如圖2，當-2≤x≤5時，[x+2]+[x-5]=7;如圖3，當x<-2時，[x+2]+[x-5]>7;如圖4，當x>5時，[x+2]+[x-5]>7。所以[x+2]+[x-5]的最小值為7。

<E：＼資料備份＼初中生＼2019＼7年級＼9＼俞琴賢-3.tif>

圖3

<E：＼資料備份＼初中生＼2019＼7年級＼9＼俞琴賢-4.tif>

圖4

變式2 請你嘗試解決以下問題：

（1）求代數式[x-1]+[x-2]+[x-3]的最小值。

（2）求代數式[x-1]+[x-2]+[x-3]+[x-4]的最小值。

（3）求代數式[x-1]+[x-2]+[x-3]+…+[x-2018]+[x-2019]的最小值。

【解析】利用絕對值的幾何意義，探究奇數個絕對值的和與偶數個絕對值的和的最小值規律。

參考答案：2;4;1019090。

變式3 （1）若[x]=3，求x的值。

（2）若[x-1]=4，求x的值。

（3）若[x+1]+[x-2]=7，求x的值。

【解析】同樣利用絕對值的幾何意義解答。

參考答案：3或-3;5或-3;-3或4。

（作者單位：江蘇省常州市西夏墅中學）