不同尺度應變值的歸算方法研究

趙煥禎，韓亞芳，楊震，劉子希，馬骕

(1.青島市勘察測繪研究院，山東 青島 266033； 2.青島市自然資源和規劃局，山東 青島 266011；3.海陸地理信息集成與應用國家地方聯合工程研究中心(青島)，山東 青島 266033)

1 引 言

地殼運動應變分析需要構建客觀真實的地殼應變場，但是實際工程測量中很難做到用均勻的監測網進行監測，也很難做到分析區域觀測時間上的同步性、觀測儀器及手段的一致性，從而導致檢測得到的應變資料具有空間尺度、時間尺度以及系統的差異性。尺度差異性的存在使應變場出現空值區或高值區，嚴重降低了地殼應變場的客觀真實性。因此為了克服應變觀測資料尺度上的相對性，必須對應變值進行統一歸算，以利于客觀真實地表達地殼應變場的空間分布特征。

通過對川滇地區1999年～2004年GPS觀測數據進行分析，實驗得出不同尺度的應變值在均值以及離散程度上具有明顯的系統差異，即地殼應變值與計算尺度存在顯著的相關性，而這種差異在數理統計中表現為數學期望值以及方差。不同尺度歸算在統計學中表現為將計算尺度的應變值的均值和均方差歸算到標準尺度上，在不破壞原始數據所反映的應變場空間分布的非均勻性的前提下，削弱或消除不同尺度應變值對求解區域應變場的影響。利用不同手段得到的觀測數據、不同觀測時間的數據、監測網密度分布不均勻的數據進行求解區域應變場前都需進行尺度的統一歸算，并且冪指數歸算模型具有客觀、可靠性。

2 有限元法求解應變場

地殼應變分布具有局部多樣性的特征，因此求解應變場時不能將應變場視為均勻場。目前主流方法有兩種：一種是將地殼應變視為多個不連續的相互作用的塊體系統的變形；另一種是將地殼應變視為連續的物理體進行數值模擬。第一種方法的優點是可以有效地對各塊體的整體運動進行分析，但無法表達塊體區域內部的應變。第二種方法則可以有效地對區域內的應變進行表達，其中最具有代表性的便是有限單元應變分析法。

本文研究需分析區域內的精細化應變特征，因此采用了有限元法進行地殼應變場的求解，其基本原理為將分析區域分割成為一些有限小的三角形區域，并對各三角形區域進行應變值求解，該三角形單元內的單位應變值代表該區域的單位應變值。三角形有限單元格邊界的選擇對保證研究目的區數值結果的可靠性至關重要。本文基于川滇地區GPS觀測數據進行分析，綜合兼顧GPS的點位分布，以實際構造線的走向來確定單位邊界，用點位來約束有限單元的邊界。既充分利用了有限的點位數據，又精確有效地反映出了局部的細節應變，提高了應變場的客觀真實性。

3 不同尺度應變的分布特征

為了更好地反映出不同尺度應變值的分布特征，宜選取形變量變化較大的區域的速度數據，以避免變形量太小信噪比太低從而造成數據結果不具有代表性的問題。因此，我們選取川滇地區1999年～2004年的觀測資料進行分析，來研究不同尺度應變的分布特征。

3.1 選取川滇地區GPS數據依據

川滇活動地塊是中國大陸地震活動最強烈的地區之一，具有很強的構造活動性，塊體內部應變復雜顯著，區域變化大，區域內GPS監測點分布較多且不均勻，是研究應變歸算最理想區域。GPS點分布越密集越能顯示出比較精細的應變特征，這也能更好地反映出不同尺度應變值的空間分布特征。這便是我們選取該地區作為研究樣本的原因。由川滇地區1999年～2004年的觀測資料求出該地區的速度場的分布以及GPS測點分布如圖1、圖2所示。

圖1 川滇地區速度場

圖2 川滇地區GPS測點分布

如圖1和圖2知，速度矢量(大小及方向)在東經97°～103°區域變化較大，而在東經103°～106°區域速度矢量的變化較小，而如圖1圖中北部地區和南部地區相比較，速度方向的變化也比較大。很好地與實際的地質構造相契合，同時GPS點位分布也不均勻，采用這樣的數據來分析不同尺度的應變變化規律，可以有效地提高信噪比，其結果也具有更高的可信度。

3.2 以川滇地區GPS觀測數據為例分析應變分布特征

為了揭示三角形單元應變值與其尺度之間的相關性，首先將川滇地區觀測資料根據點位分布直接構成320個三角形單元，然后再將點位分布間距更遠的點構成20個三角形單元。用這340個不同尺度的應變值作為樣本進行分析。將最大剪應變與單元尺度為橫、縱坐標，得到最大剪應變-圖形尺度分布圖，并對離散分布點進行非線性回歸，如圖3所示。

圖3 川滇地區1999年～2004年最大剪應變-圖形尺度分布

回歸方程為：

F(d)=16.81×d-0.2652

(1)

式中，應變值數值單位取10E-8，d為計算圖形尺度(單位為km)，取d=sqrt(s)(S為計算圖形面積)。由圖3可知最大剪應變的分布滿足冪指數衰減的關系。應變的計算結果與三角形單位的面積具有相關性，一方面高值點基本分布于圖形尺度較小的區間；另一方面圖形尺度較小的區間應變值分布更離散，量值的變化幅度更大。然而由于GPS點位分布較為密集圖形尺度相對而言集中分布在 50 km左右，并不能較好地說明其數學統計關系，因此我們將尺度相近的點取平均值來降低小尺度三角形單元的密度。

為了更好地反映應變值的衰減趨勢，將三角形單元尺度在 30 m～70 m范圍內的最大剪應變，每4個尺度相近的最大剪應變取平均值，共得到142個最小圖像單元，重新得到的最大剪應變-圖形尺度分布圖(如圖4所示)。

圖4 川滇地區1999年～2004年最大剪應變-圖形尺度分布(處理后)

回歸方程為：

F(d)=23.1×d-0.3314

(2)

由圖可知應變值隨著尺度的增大而衰減趨勢更加明顯，圖3與圖4的差異原因在于前者大尺度三角形單元所占比例太少，而小尺度圖形單元所占比例較大，且由GPS速度場可以看出，相當一部分點分布在速度矢量變化很小的地區。因此，倘若有更多的數據，更廣泛的分布區域，應變值隨尺度的變化越符合冪函數衰減趨勢。

為了進一步分析這種衰減趨勢的特征，我們再將尺度相近的每5個三角形單元的最大剪應變取平均值，并計算每一組的均方差，將每一組的均值和均方差作為樣本點進行非線性回歸。如圖5和圖6所示。

圖5 最大剪應變均值-圖形尺度分布

圖6 最大剪應變均方差-圖形尺度分布

最大剪應變均值的回歸方程為：

F(d)=25.03×d-0.3523

(3)

最大剪應變均方差回歸方程為：

F(d)=13.61×d-0.3314

(4)

由圖5和圖6可知，應變值的均值和均方差隨著圖形尺度的增大呈冪指數衰減的趨勢，并且這種衰減趨勢的離散程度也越來越小，這為我們可以采用冪指數函數模型進行不同尺度應變值的統一歸化提供了理論依據。為了更具有說服力，下面給出川滇地區1999年～2004年東西向應變、北東向剪切應變、南北向應變與圖形尺度的分布關系，如圖7～圖10所示。

分析以上4種應變，每種應變正負部分都分別符合冪指數衰減趨勢(負值以其代數值)，又因為各種不同應變的同源性，不難得出其均值與均方差也呈指數衰減趨勢。

圖7 東西方向應變-圖形尺度分布

圖8 南北方向應變-圖形尺度分布

圖9 北東向剪應變-圖形尺度分布

圖10 面應變-圖形尺度分布

4 不同尺度應變歸算方法

4.1 應變歸算理論方法

由以上川滇地區應變值的分析得出，不同尺度應變值的均值和均方差均有顯著的偏差，這種偏差是由于尺度的變化引起的，因此可采用將一般正態分布化為標準正態分布的方法對不同尺度的數據進行歸一化。

(7)對不同尺度的應變分布，可表示為：

T1=N(u1，σ1)

T2=N(u2，σ2)

(5)

標準化后：

(6)

(9)盡管變量標準化可以將不同尺度的應變值進行統一化歸算，達到均值與方差的相對一致性，但同時也破壞了應變值所具有的描述區域地殼應變的物理意義。因此，在式(6)增加一個加常數和一個乘常數，得到：

(7)

式中u0為歸算標準尺度的應變值的均值，σ0為歸算標準尺度的均方差。通過數理統計將不同尺度值應變值之間的關系對應起來，經過歸算后不同尺度的應變值便具有了統一的量化標準，即標準尺度。實際上不同尺度應變值具有正負性，故應變歸算公式可表示為：

(8)

4.2 應變歸算理論方法

由以上理論方法，將川滇地區1999年～2004年的應變值進行歸算。為了更好地驗證前面應變值隨尺度變化的規律及歸算對其的影響。首先對最大剪應變值進行歸算，將計算得到的最大剪應變統一歸算到 55 km的尺度上，另外為了更加具有說明性，直接使用測得的所有數據進行歸算。并用不同的計算方法得到應變值的分布從而進行對比分析。歸算后最大剪應變值-尺度分布如圖11所示。

圖11 最大剪應變-圖形尺度分布(歸算后)

回歸方程為：

F(d)=6.501×d-0.005575

(9)

由回歸方程可知，歸算后冪指數的系數基本趨近于零。這說明不同尺度的均值歸算后近似趨于一致性。離散程度也趨于一致。這說明用上文中提到的方法進行歸算，有效地避免了相對密集的區域稱為高值區。對集中于小于 55 km尺度范圍的應變值有不同程度的減小，而對大于 55 km尺度范圍內的應變值有不同程度的增大。使計算尺度的均值和均方差近似等于標準尺度的均值和均方差，即將計算尺度歸算到了標準尺度的標準。為了探討其合理性我們將歸算前后的最大剪應變分布分別給出，如圖12(a)和圖12(b)所示。

圖12 最大剪應變分布

(注意：最大剪應變為非負值，故圖中零值線及其以外是無意義的，從圖1b可知在這些地區并沒有GPS測點分布，因此無法得到應變值，即零值線以外無實際意義)

對圖12(a)進行分析，由于所采用的GPS測站相對“三江”斷裂及鮮水河-小江斷裂帶等斷裂帶地區測點分布相當密集，觀測邊長相對較小，因此最大剪應變高值分布區域較多。該地區中部測點分布較高值區稀疏一些，高值分布不明顯，當然這也與該地區實際的地形有關。與歸算后的最大剪應變比較(圖12(b))，歸化處理前后最大剪應變的分布趨勢基本一致，大多數高值區的位置基本上沒有變化，只是量值或梯度有所降低。本文以 55 km尺度作為標準尺度進行歸算，可以明顯看出處于小于 55 km尺度范圍內的應變值，其量值得到了不同程度的抑制，即圖中三個高值區有較為明顯的減小趨勢。而處于大于 55 km尺度范圍內的應變值，有不同程度的增強，即低值區域有較為明顯的增強趨勢。總體上呈現小尺度應變值減弱，較大尺度應變值增大的總體趨勢。這說明是經尺度歸算后應變值的空間尺度的差異明顯性降低，很好地把不同尺度的應變值歸算到標準尺度。

為了說明歸算的合理性和適用性，下面給出用以上方法求得川滇地區1999年～2004年最大剪應變、面膨脹、東西向應變、北東向剪切應變、南北向應變歸算前后的分布偽彩色圖，如圖13～圖17所示。

圖13 最大剪應變分布

(注意：最大剪應變為非負值，負值是無意義的，從圖2可知在這些地區并沒有GPS測點分布，因此無法得到應變值，用matlab繪圖時使用了插值，造成圖中藍色區域無實際意義。)

圖14 面膨脹分布

圖15 東西方向應變分布

圖16 南北方向應變分布

圖17 北東剪應變應變分布

對圖13～圖17歸算前后的應變進行分析，歸算前后應變特征(上述應變特征)的空間分布基本保持一致。高值區(小尺度應變值區域)的區位大都未發生改變，但量值有所降低；低值區(大尺度應變值區域)的區位同樣大都未發生改變，但量值卻出現增強的趨勢。無論是最大剪應變、面膨脹、東西向應變、北東向剪切應變還是南北向應變總體上都呈現小尺度應變值減弱，較大尺度應變值增大的總體趨勢。而歸化后的應變值與實際地形分析有較好的符合性，經過尺度歸算后應變值空間尺度所引起的差異性明顯性降低，很好地把不同尺度的應變值歸算到標準尺度，更有利于地殼應變場的空間分布表達。

5 結 論

通過對川滇地區1999年～2004年GPS觀測數據處理與分析表明，地殼應變值的統計量與三角形單元空間尺度具有很強的冪指數相關性。隨著觀測資料空間尺度的增大，其相應的應變值呈冪指數衰減的趨勢。當利用地形變觀測資料求解的應變場時，不能忽略其尺度相對性，應當對應變值進行統一的尺度歸算。不同尺度的應變歸算對直接計算應變值的影響程度取決于不同尺度應變值的差異性，而借助前面提到的冪函數非線性回歸，則可以提高歸一化處理的客觀可靠性。歸化標準的建立也需要具體地區具體分析。通過本文所述尺度歸算方法較好地削弱了尺度變化對應變值結果的影響，有效提高了應變場的真實性表達。需要注意的是，本文實驗分析主要是從空間尺度進行討論，尚未涉及時間尺度和觀測儀器差異的影響，仍待日后更多的實驗驗證。