淺析平面向量在三角形外接圓中的簡單應用

馬 也

平面向量作為一種基本工具，在平面幾何問題的求解中起到比較重要的作用，在這類平面幾何問題中，三角形的外接圓問題一直是學生比較難處理的。因為教材中對于平面向量給出了幾何表示和坐標表示兩種形式，相比較而言，學生對于坐標表示相對容易接受，但對向量的幾何表示包括幾何運算往往感到比較困難，而三角形的外接圓問題用坐標表示又比較難處理，用三角函數設值，運算又比較麻煩。而從平面向量的幾何表示來看，如能合理地運用向量的加法、減法的平行四邊形法則或三角形法則以及向量平行、垂直的條件，結合平面向量的基本定理這些幾何意義，以及三角形外接圓自身的性質，解決這類問題就會比較直接、簡單。

要利用平面向量來解決三角形外接圓的問題，我們需要掌握平面向量與外接圓的一些性質和簡單的聯系，這樣在思考、解決問題中可以很方便的把條件轉化到向量的圖形表示中，解題時就能做到有的放矢，直達目標。

如圖，△ABC與其外接圓圓O中，O為外心，E、F、G分別為BC、AB、AC的中點。

(1) 若△ABC為銳角三角形，則O在三角形內；

若△ABC為直角三角形，則O在直角三角形斜邊上；

若△ABC為鈍角三角形，則O在三角形外，

(2)OA=OB=OC；

(3)OE⊥BC，OF⊥AB，OG⊥AC，即從各邊中點出發的向量，若垂直中點所在的邊則必過三角形的外心；反之，外心與各邊中點所在的向量與對應邊垂直(除直角三角形時，斜邊中點與外心是重合這種情況)。

(5) 若A、O、E三點共線，則△ABC為等腰三角形。

例1：O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三點，動點P滿足

( )

A. 外心 B. 內心 C. 垂心 D. 重心

小結：在本題處理中需要對向量平行四邊形法則、三角形法則的運用比較熟練，得出BC中點D之后，結合圖形及三角形外心的基本性質，找對方向，利用數量積的形式得出所需要的結論，結合圖形選出答案。

故=λ(x+y)=λ，

|OD|表示△ABC的外心O到BC邊上點的線段長度，其中△BOC是等腰三角形，腰長為a，∠BOC=2∠BAC=120°

本題處理時需整理出α+β的值是什么，不然不容易“下手”。如果能利用向量共線原理把問題轉化為內心到三角形邊BC上點的距離，就能直接通過圖形，立即得到結論，簡潔、合理。

綜上所述，同學們在碰到這類向量中的外接圓問題時，首先應該考慮到的是圖形的特點，結合向量的線性運算或數量積運算，把條件都轉化到圖形表示中去，若條件最終體現出的都是三角形的外接圓圖形基本特征，再來解決問題，就僅僅是圖形中的求值、求距離變化等這樣的結果，這樣，能更有目的、更高效的解決問題。