數形結合思想方法在高中數學教學中的應用分析

袁海勇

一、 數形結合思想的概念介紹

數學研究的對象通常是數量關系和空間幾何，而二者在一定條件下可以做到相互轉換。數形結合我們可以理解為數量和圖形之間的相互對應關系，而數學教師在對數形結合教學方法進行應用時可以分成兩個方面：第一方面是通過數量關系對空間幾何圖形進行解釋，也就是我們比較熟悉的以數解形；第二方面是數通過形的幾何特點去解釋二者之間的某種關系，也就是以形解數；當學生可以找到數與形之間的所有對應關系，就可以把復雜的幾何問題、代數問題、函數問題等復雜問題結合在一起進行思考和解決，最終達到提高學生邏輯思維能力和解題效果的目的。例如學生在做(x-4)2+y2=16，y/x最大值的時候，如果只是單純依靠傳統的解題思路和方法去解出問題就會很耗費時間，如果是先畫出圖形(4，0)為圓心，以4為半徑的圓就可以通過觀察圖形的位置，最終快速求出問題的答案。

二、 關于數形結合思想的應用原則分析

(一) 把握直觀性的原則

數形結合數學思想最顯著的一個特征就是具有一定的直觀性。在實際的教學過程中教師進行理論知識的單一敘述無法讓學生擁有正確的理解，而把文字和數字轉化為形象化的圖形，就可以讓學生更好地理解主從變量之間的關系，有利于增強他們對數學概念公式的理解。

(二) 把握簡單性的原則

簡單性原則我們可以理解為在直觀性原則的基礎之上，把復雜的數學變得簡單化，而這就需要學生從復雜的圖形中找到正確的數學信息，然而由于高中的幾何圖形存在很大的難度，學生在解析圖形時往往會出現很多的困難，因此這就需要教師培養學生的圖形分析能力。

(三) 把握創新性的原則

教師在對數形結合教學模式進行應用時，需要通過創新性的圖形去培養學生的多元化解題思路，這樣不僅可以提高學生對數形問題的敏感度，也能對他們的發散性思維培養起到很強的促進作用。

三、 關于數形結合在高中數學教學過程中的具體應用分析

(一) 數學教師提高數形結合的意識

在我國新課改理念的引導下，高中數學教材是根據數學知識的發展和運用進行改編的，雖然關于數形結合方法的相關知識并沒有在教材中明確地體現出來，但是教師需要清楚認識到數形結合教學方法的重要性，要讓自己傳統的教學理念以及教學方法得到全面的改進和創新，在教學過程中通過數形結合的教學方法幫助學生對數學知識擁有一個更加深刻的理解，也要結合數學大綱以及教學內容找準數形結合教學方法的切入點，認真設計每一個教學環節，最終使得數形結合教學方法的優勢和價值得到全面的體現。

(二) 通過數形結合解決數學中的集合問題

數形結合可以有效判斷出圖像和數值之間所存在的各種關系，而數學教師可以引導學生利用數形結合方法去解決一些比較常見的選擇題和填空題。在高中的數學試卷中，集合問題無論是作為填空題、判斷題還是應用題，如果學生只是單純地按照傳統的解題思路和方法進行解答，就很容易出現結果上的錯誤，但是通過數形結合方法進行數量集合的計算，不僅會讓解題過程變得更加簡單，也能有效提高他們解題的效率。

例如某商場舉辦商品的促銷活動，一共有50個商家參加此次活動，其中電器促銷活動30人、食品促銷活動25人、15人參加了電器促銷和食品促銷兩個活動，請問有多少人既沒有參加電器促銷活動也沒有參加食品促銷活動？如果學生是通過Venn圖形進行集合的計算就會很快判斷出數量關系并得出準確的結果，而學生通過傳統的解題思路和解題方法就會得到這樣的繁瑣解題過程：參加電器促銷活動沒有參加食品促銷活動的有30-15=15人，參加食品促銷活動沒有參加電器促銷活動的有25-15=10人，所以參加促銷活動的人有15+10+15=40人，而沒有參加促銷活動的有50-40=10人。

再比如某個高中學校舉辦奧數比賽，一共有25個學生報名參賽。競賽題目主要分成E、M、T三個題目，每個學生可以自己選擇一個題目進行解答，其中選擇M題目的人數是T的2倍，而E題解決的人數比剩余的多了一個人，只解決E、M、T其中一個題的總人數中有1/2沒有解決E題，那么請問有多少人解決了M題？在對這一道集合問題進行解決時，如果學生選擇傳統的解題方法就會非常耗費時間和精力，而通過數形結合思想就可以用甲乙丙去分別表示EMT題目的總人數，通過e，m，t……g表示小區域，最終通過直觀的圖形轉換得到問題的答案。

(三) 通過數形結合思想解決圓的知識點

在高中數學教學中圓的相關知識點是非常重要的且學習難度也比較高，因此數學教師可以讓學生通過數形結合的思想去分析和解決和圓知識點有關的數學問題。舉個例子，已知曲線xy=1與圓M：x2+y2-4x-4y+3=0相交于A，B兩點，請求出AB的中垂線方程式。面對這個問題時學生就可以通過以形解數和以數解形的方法把復雜抽象的問題變得簡單和具體，如曲線xy=1實際上可以看出是反比例函數，其圖像關于直線y=x是對稱的，外加M的圓心在y=x上，所以可以得出AB的中垂線方程是y=x。

四、 數形結合方法在二元一次不等式問題上的具體應用

在高中二元一次不等式的教學過程中，不等式組的參數值會對平面區域的形狀產生直接的影響，如果在二元一次不等式組中的某一個不等式中含有參數，這時候這個不等式表示區域的分界線就會呈現出幾條不同的直線，如果在求解的目標函數中含有參數，就需要根據目標函數的特點去確定參數變化時目標函數和平面區域之間的關系，最終求出平面區域的取值范圍。舉個例子，已知在平面直角坐標系中如果不等式組y≥0；y≥2x；y≤k(x-1)-1表示一個三角形的區域，請求出k的取值范圍。要想讓學生對題目中已給出的數量關系進行準確的判斷，教師可以通過數形結合的方法幫助他們解決問題。首先可以把題目中的區域邊界通過兩靜一動的方式表現出來，教師可以先畫出一個區域讓學生觀察圖形確定完二元一次不等式表示的平面區域以后，再讓他們通過直線定界的方法去判斷圖形數量之間的轉化關系，從而準確求出k的取值范圍。

五、 數形結合法在函數問題中的具體應用

函數在高中數學教材中所占有的比例也是很高的，其所貫穿的函數知識范圍非常廣泛，所涉及的知識點也非常靈活，非常考驗學生的邏輯思維能力，因此也就導致很多學生在學習函數知識時都會存在各種各樣的困難，比如他們無法對函數概念和相關公式擁有正確的理解和掌握，所以針對于這種情況數學教師通過數形結合的教學方法，就可以讓學生根據函數值與其對應的圖像去對相關問題進行一步步的推理，從而更好地解決復雜的函數問題。例如對0.32、log20.3、20.3三個數的大小順序進行排列：這道題目雖然看上去并不算是難題，但學生如果是按照慣性思維進行問題的思考就會先計算出0.32的值以后再去判斷其他兩個數的數值，然而log20.3和20.3是無法計算出來的，而通過數形結合的思想學生就會分別繪制出y=x2，y=log2x，y=2x的三個圖像，然后再把x的值設定為0.3，最后就可以順利得出log20.3<0.32<20.3的順序。

六、 數形結合法在幾何問題上的具體應用

幾何問題一直屬于高中數學蘇教版教材中的重難點問題，因為計算數量比較龐大且問題又不夠直觀，使得很多學生在面對這類應用題型時都會出現錯誤的思考方法，而教師通過數形結合的教學方法就可以為學生提供出新的思考方向。舉個例子，已知M點在拋物線y2=4x上，當M點到Y點(2，-1)的距離與點M到拋物線焦點距離之和最小時，此刻M的坐標應該如何表示？這道經典的幾何題如果學生是按照以往的思路進行解答，就會把M點的坐標設置為(x0，y0)，然后通過計算出兩段距離之和的方式得出結果。而教師引導學生通過數形結合的方法對這道題目進行思考，就可以讓他們了解到雖然點M到焦點的距離和點M到準線的距離是相同的，但實際上可以直接簡化為點M到準線的距離與點M到Y點距離的之和，這樣也就幫助他們轉移了傳統的解題思路，把代數計算直接轉化為對圖形的直接觀察和深入分析，最終準確得出點M的坐標位置。

綜上所述，高中數學知識因為本身具有很大的難度，使得高中學生在數學知識的學習和理解上會存在一定的困難，而數學教師把數形結合的教學方法融入到數學教學過程中，就可以幫助學生降低學習難度以及加深他們對數學知識的理解程度，最終幫助他們構建一個更加系統和完整的數學知識體系，這對學生今后的數學學習以及其他理科的學習起到了至關重要的作用。