數形結合 彰顯思維之美

殷小琳

我國著名數學家華羅庚先生說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休?！睌敌谓Y合是數學的重要思想方法，在數學學習中發揮著不可替代的作用。

一、 數形結合的價值

(一) 激活學生的思維

數學教學既要讓學生學會，更要讓學生學通、學活。然而，在實際教學中發現學生常常無法做到“舉一反三”“觸類旁通”“學以致用”，遇到一些稍復雜的問題，更是顯得無從下手，混淆不已。究其原因，是學生找不到思維的落腳點。美國數學家斯蒂恩說：“如果特定的問題可以轉化成一個圖形，那么思想就整體把握了問題，并能創造性思索問題的解法?！庇纱丝梢姡瑪敌谓Y合能幫助學生更好地把握問題的本質，激活思維。

(二) 簡化解題的過程

數學問題的解決具有靈活性、多樣性，正所謂“條條大路通羅馬”。假如用數形結合的方法去思考，也許就能從中找到一條捷徑。

例如：在計算1+3+5+7+9的值時，假如將這個算式轉化成圖形(如圖1)，就能快速地得出算式的結果為5×5=25。

(三) 溝通知識的聯系

數學知識常常以網狀結構存在，相互聯系、彼此溝通。然而，學生對于知識的理解常常是點狀的、零散的、淺顯的。數形結合能幫助學生從整體上把握知識，形成概括化、系統化的網狀知識結構。

例如：在學習了四邊形之后，可以借助圖形(如圖2)呈現出不同四邊形之間的關系。

二、 數形結合的現狀

通過對學生課堂表現的觀察和對作業情況的分析，發現數形結合的現狀并不樂觀。雖然學生具有數形結合的意識，但是對于數形結合的運用是盲目的、隨意的，只停留于問題的解決，并未發展到提升思維的層次。主要表現在以下幾個方面。

(一) 圖形的呈現不夠直觀

數形結合能幫助學生有效地解決數學問題，拓展思維，然而學生在應用數形結合時，多了一些“模仿”與“記憶”，少了一些“聯系”與“變通”，更多地將數形結合作為解決某一類特定問題的手段。當遇到一個陌生的問題時，一部分學生就不會靜下心來理性地分析，將題目中的數量關系以圖形的形式直觀、準確、清晰地表達出來。

(二) 對問題的分析不夠深入

“數”中有“形”，“形”中有“數”，學生將“數”轉化為“形”是思維的起點，也是理解題意的關鍵一步，但并非最后一步。很多學生卻止步于此，當問題得以解決的那一刻，思維也就此停留。不會再去想一想“為什么這樣做”“有沒有更好的方法”“圖形的背后還隱藏著哪些知識點”等。

(三) 對知識點的把握較零散

知識是相通的，但題目卻可以千變萬化。假如學生能將知識進行梳理、溝通，建構一個完整的知識結構，并將其不斷內化，就可以以不變應萬變。然而，在解題時，雖然學生知道自己運用的是什么知識點，但不會去追根究底，思考與這一知識點相關的其它知識點以及相互之間的關系。

三、 數形結合在數學教學中的運用

在數學教學中如何發揮出數形結合應有的價值，彰顯出思維之美？我進行了如下嘗試。

(一) 借“形”看“數”，讓思維清晰化

小學生處于具體運算階段，思維仍需要以具體表象為支撐?！靶巍弊畲蟮奶攸c就是直觀，它可以將復雜的數學問題變得簡明、形象，有利于學生更清晰地描述和分析問題，從而化繁為簡、化難為易，給人“柳暗花明又一村”的感覺。因此，在數學教學中，要引導學生變“解題者”為“參與者”，用心感受題目中的數量關系，并直觀地呈現出來。

例如：有這樣兩道習題。習題1：3支鉛筆和1支鋼筆一共10.8元，鋼筆的單價是鉛筆的6倍，鋼筆和鉛筆的單價各是多少？習題2：師徒兩人一共做了120個零件，師傅比徒弟多做16個，兩人各做了多少個？

這兩題看起來類似，實則不同。但學生借助“形”，將問題以圖文結合的方式展示出來(如圖3)，看似復雜的數學問題，一經加工處理，也能變得一目了然。

圖3：

題1中兩個量是倍數關系，把1支鋼筆換成6支鉛筆，也就是9支鉛筆是10.8元。題2中兩個量是相差關系，把徒弟換成師傅，總數就多了16個，也就是師傅所做的零件數的2倍是136個，這樣，就理清了數量關系，理順了學生的思維，從原來的不知從何入手到有章可循。

(二) 用“數”說“形”，讓思維深刻化

“形”看似直觀，但如果用數學的眼光去打量它，用數學的思維去挖掘它，我們會發現，在“形”的背后其實也藏著許多“數”的奧秘。而且學生思維能力、知識背景、生活經驗等方面均存在著一定的差異，觀察同一個“形”，不同的學生會有不一樣的思考，在交流和碰撞的過程中，也許還會產生新的思維火花。

例如：在“認識平行四邊形”時，要求學生根據對平行四邊形特征的認識，用小棒擺出不同的平行四邊形。通過操作，學生擺出了許多不同的平行四邊形。

師：觀察這些平行四邊形，你有沒有什么新的發現？

生1：用4根、6根、8根小棒都可以擺出平行四邊形。

生2：小棒的根數都是雙數。

生3：5根可以擺一個平行四邊形嗎？

(生嘗試后發現只有偶數根小棒才能擺出一個平行四邊形)

生4：擺一個平行四邊形最少要用4根小棒。

生5：平行四邊形對邊所用的小棒根數相等，因為平行四邊形對邊相等。

生6：所用小棒根數越多，拼出來的平行四邊形就越大。

生7反駁：不一定小棒越多平行四邊形就越大，因為平行四邊形的大小和邊的長度還有斜度(高)有關。

……

如果學生拼出平行四邊形后，不再進行追問，學生的思維可能就此止步。但當學生再次觀察這些圖形的時候，不同的人能得到不一樣的感悟。也許學生的思維不夠嚴密，也許學生的表達不夠清晰，但是在觀察、歸納、猜測、驗證的過程中，學生對于平行四邊形的認識從直觀的感知提升到了理性的理解，甚至還延伸到了平行四邊形的周長和面積之間的關系。學生的思維正在一步步地深入。

(三) “數”“形”互化，讓思維概括化

學生所學的知識是相互聯系、螺旋上升的，學生的學習常常會將新知識轉化成學過的知識，然后借助已有的知識經驗解決新的問題。必要的知識梳理，可以幫助學生理清知識脈絡，把握知識本質。

例如：在學習了“長方形和正方形的面積”這一課后，引導學生回顧學習內容，并將所學知識以圖形的形式整理出來。有學生是這樣整理的：

幾個簡單的箭頭，不僅反映出了長方形和正方形面積公式中各部分之間的關系。“一共的面積單位=一行的面積單位×行數”說明了在學生的頭腦中對于面積公式的由來有著清晰的認識。一行的面積單位相當于長方形的長，行數相當于長方形的寬，有效地溝通了二維和一維之間的關系。清晰地解釋了長方形和正方形面積公式的推導過程。知識得以整合，思維得以概括。

總之，數學是思維的體操，數形結合能將看似雜亂無章的問題與知識按一定的規律分析、梳理與整合，化抽象為直觀、化模糊為清晰、化零散為統一。數學教學要引導學生做到數中有形、形中有數，以數定形，看形思數，在數形結合中清晰把握問題本質，提升思維品質，讓學生真正成為學習的主人。