Bazilevi?函數的Milin系數估計

牛瀟萌

(赤峰學院數學與統計學院,內蒙古 赤峰 024000)

1 引言

設f(z)與g(z)在U={z:|z|<1}內解析,如果存在U內滿足|ω(z)|≤|z|的解析函數ω(z),使得f(z)=g(ω(z)),則稱f(z)從屬于g(z),記作f(z)?g(z).特別地,如果g(z)在U上是單葉的,則

的全體.顯然P(C,D)?P(1,?1)=P,P為熟知的正實部函數類.

設S表示在單位圓盤U內單葉解析函數

構成的函數類.S?,C和Bα分別表示通常的星象函數類,近于凸函數類和Bazilevi?函數類,它們都是S的子類且S??C?Bα.

用G表示復平面上包含原點的區域,稱G是圓對稱區域,如果對每個R∈(0,∞),G∩{|z|=R}或是空集,或是整個圓周{|z|=R},或是包含z=R且關于實軸對稱的圓周G∩{|z|=R}上的一段圓弧.設f∈S,若函數f(z)將U映射為圓對稱區域G,則稱f(z)屬于圓對稱函數類Y[1].設α>0,β∈R,f(z)∈S,如果存在g(z)∈S?使

的全體組成的函數類.稱Dn(λ)為Milin系數.

研究 Milin系數和相鄰兩系數模之差||Dn+1(λ)|?|Dn(λ)||是單葉函數論中兩個重要問題.近些年來,許多作者研究了單葉函數中一些特殊函數族的Milin系數和相鄰兩系數模之差的估計.如文獻[4-9]分別引入了一些特殊解析函數類,并討論了其Milin系數和相鄰兩系數模之差的估計.首先,文獻[9]給出了當時,S上|Dn(λ)|準確的階,但當時,只獲得了

文獻[8]繼續討論幾類特殊單葉函數類(S?,C,Y和Bα)上Milin系數|Dn(λ)|階的估計,得到如下結果:

定理 1.1設f(z)∈Bα,Dn(λ)由 (2)式定義,則

其中A是絕對常數,指數2λ?1是最佳的.

本文進一步對f(z)∈Bα,β(C,D)時,估計系數|Dn(λ)|的階,推廣了上述結果.

2 主要結果