淺談引力半徑和軌道半徑的辨析

余小路

摘 要 文章主要對引力半徑和軌道半徑進行了辨析，從引力半徑與軌道半徑在相等和不相等這兩種情況下進行分析。

關鍵詞 引力半徑;軌道半徑

中圖分類號：G632????????????????????????????????????????????????????? 文獻標識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2019）20-0152-02

在萬有引力定律的應用中，很多學生在“引力半徑”和“軌道半徑”上存在認識誤區，認為公式中兩式的r為同一物理量，導致頻繁出錯。究其原因，還是對兩個公式的意義理解不透徹。在萬有引力定律公式中，r指兩星體重心間的距離，對于質量分布均勻的星體，r可看作球心間的距離，而向心力公式中，r指物體做圓周運動的軌道半徑，即圓周運動物體重心與軌道圓心間的距離，兩個r對應的物理量不同。兩者取值是否相等，需要分下列兩種情況。

一、引力半徑與軌道半徑相等的情況

當中心天體保持靜止時，中心天體的圓心既是重心又是軌道圓心，此時軌道半徑和引力半徑相等，滿足，所有r取值均為環繞天體的圓心到中心天體的圓心間的距離。此種情況在人造地球衛星類型的題比較常見。

例1：如圖所示，是在同一軌道平面上的三顆不同的人造地球衛星，關于各物理量的關系，下列說法正確的是（? ）

A.根據，可知

B.根據萬有引力定律，可知它們受到的萬有引力F_A>F_B>F_C

C.角速度

D.向心加速度

解析：由于中心天體靜止，軌道圓心和重心重合，引力半徑和軌道半徑相等，滿足，解得：，，，即BC選項正確。而A選項是引入黃金代換公式后得到的結果，但錯在忘記了黃金代換里面R的含義，黃金代換研究的對象是地球表面的物體，其受萬有引力提供重力：，式中的R為引力半徑，大小等于地球的半徑，圓周運動動力學方程里的軌道半徑不是同一個物理量，并不能約分消去。

二、引力半徑和軌道半徑不等的情況

當無靜止的中心天體，兩星體均在做勻速圓周運動時，軌道圓心和重心不重合，導致軌道半徑和引力半徑不相等，最典型的模型就是雙星系統和多星系統模型。

例2：如圖所示，兩顆星球組成的雙星，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的O點做周期相同的勻速圓周運動.現測得兩顆星之間的距離為L，質量之比為m₁：m₂=3：2.則（? ）：

A.m₁、m₂做圓周運動的線速度之比為2：3

B.m₁、m₂做圓周運動的角速度之比為3：2

C.m₁做圓周運動的半徑為

D.m₂做圓周運動的半徑為

錯解1：認為引力半徑和軌道半徑均為星體距離L

錯解2：認為引力半徑等于軌道半徑

分析：由于兩星體均在做圓周運動，軌道圓心為星體連線上的O點（此點為空點，無質量），m₁軌道半徑為m₁到O的距離，m₂軌道半徑為m₂到O的距離，兩個軌道半徑不相同。而引力半徑為m₁、m₂重心間的距離，即球心距離L。此時，引力半徑和軌道半徑不相等。但m₁對m₂的萬有引力，與m₂對m₁的萬有引力為作用力和反作用力，大小相等，均為。

正解：m₁和m₂同軸轉動，角速度相等

其中：r₁+r₂=L

解得：

由v=wr知：v₁：v₂=r₁：r₂=2：3

因此，在萬有引力與圓周運動結合的應用中，若行星為一動繞一靜做圓周運動，則引力半徑等于軌道半徑，若行星均運動，且繞星體之外的一點，則引力半徑不等于軌道半徑，引力半徑為球心之間的距離，軌道半徑一般可以根據合力指向圓心，確定半徑，結合幾何關系進行求解。防止出錯的關鍵點就在于把我引力半徑和軌道半徑的物理意義：一個是重心之間的距離，一個是重心和圓心之間的距離。