數學逆向思維方法剖析淺議

黃麗君

摘 要 逆向思維是一種重要的思考能力，個人的逆向思維能力，對于全面人才的創造以及問題解決能力具有非常重大的意義.科學研究的方法盡管千差萬別，但有一個通法，那就是將未知轉化為已知，將復雜的問題轉化成簡單的問題，而數學的研究也基本按照這種方法，這是原則也是方向，違背了這個方向研究工作就會受阻，但在大方向不變的情況下，也常常倡導“回頭看”的逆向思維方式.它鼓勵人們進行思考時不再固守在問題的一個方面，鼓勵嘗試從問題的多方面進行思索和推敲，從而得出問題解決的最佳答案.

關鍵詞 數學;逆向思維

中圖分類號：C931.1?????????????????????????????????????????????????? 文獻標識碼：A????????????????????????????????????????????????? 文章編號：1002-7661（2019）19-0059-02

相信看到“逆向思維”，很多人都會覺得指的就是反證法。其實嚴格意義上來說，逆向思維并不等同于人們平時所說的反證法，反證法是逆向思維的一種方法，但逆向思維同時還應包括人們平時不太熟悉的分析法，剔除法，反例法，待定法等方法，本章將介紹典型的逆向思維方法（也稱反向思考方法）。

作為逆向思維的典型方法，反證法，是指從結語入手的一種逆向思維解題法，它是從否定結語開始推理，直至推得與已知條件或事實矛盾。總的原則就是：對所要論證的論題，若A則B，沒有直接證明的根據，此時運用反證法證明，只需證明其反論題（若A則不B）的謬誤即可。

例題1：已知：x+y+z=1，xyz=xy+yz+xz，求證：x、y、z中至少有一個等于1。

分析：本題結語反面情況是、、都不等于1，即將左邊展開后再與條件比較，發現矛盾。即得原題的結語。

證明：設x、y、z都不等于1，則x-1≠0，y-1≠0，z-1≠0，因為（x-1）（y-1）（z-1）≠0，即xyz-（xy+yz+xz）+x+y+z-1≠0（1）又因為x+y+z=1，xyz=xy+yz+xz（2）所以xyz-（xy+yz+xz）+x+y+z-1=0（3）因為（1）、（3）式發生矛盾，所以原結語成立。

完成這個證明過程后，我們又可以從中得到啟發，即若我們從條件出發，用正向思維完全可以推得，即得 、x、y、z、中至少有一個等于1。

由以上例題，可見，當問題條件明確指明，而結語的逆方向所得出的結果與問題所提出的條件明顯相悖逆時，運用反證法可以更好的將問題得以解決。但是當條件與結語的關系比較隱晦時，直接從條件到結語，常常因為方向不明而無從下手，由于這時條件與結語關系隱晦，反證法無法起到很好的效果。而這時候若從結語入手開始向條件推導，問題往往會迎刃而解。分析法就是從結語入手進行推證，推得符合的條件或者容易證明的命題的一種逆向思維方法。它使推證的每一步均可逆，從而使原命題得證。

例題2：證明：3（1+a²+a⁴）≥（1+a+a²）²。

分析：這道題看似容易，但是實際運算起來計算量還是比較大的，因此，需考慮是否可以換種思維角度解決問題。像先前所討論的反證法明顯沒辦法進行，因為問題中沒有進行反證的條件。因此，可以思考是不是能從問題的結語出發，對這道題目的結語進行逆推，也就是本節所要講述的分析法.

證明：要證明3（1+a²+a⁴）≥（1+a+a²）²，只需證明3[（1+a^）2-a⁴]≥（1+a+a²）²，即是3（1+a²+a）（1+a²-a）≥（1+a+a²）²，

，所以只需證3（1+a²-a）≥1+a+a²，展開得2-4a+2a²≥0，即2（1-a）²≥0。

因為顯然成立，所以成立。

由以上例題可以看出，當問題中只給出了大致的問題，而沒有給出太多的條件時，這個時候就可以嘗試用分析法，從結語著手，層層推進到條件根本去解決數學問題。

根據題目所給出的條件，如從正面求解很煩瑣，可從反面思考，只須把不符合條件的先求出來，再從總體中淘汰那些不符合條件的，最后使問題得解，這種逆向思考方法叫做剔除法。剔除法又稱為淘汰法，是剔除干擾從而得到正確答案的一種逆向思維解題方法，用此方法解一些問題往往比直接由條件導出正確答案更靈活和方便。接下來，可以從以下例題來加深對此方法的理解。

例題3：已知a、b、c、d四數滿足下列不等式：

（1）abcd>0;（2）a>c;（3）abd<0;（4）b+d<0則（ ）。

A.a、b、c、d都大于0

B.a、b、c、d都小于0

C.a>0，b<0，c>0，d<0

D.a<0，b>0，c<0，d>0

E.a>0，b<0，c<0，d>0

分析：此題關系復雜，頭緒較多，不易從正面入手，而由于此題是選擇題，不必直接算出結果，故可考慮使用剔除法進行求解。

解：由于abcd>0，abd<0，可知，c<0，于是可排除A、C;由于b+d<0可知，b、d中至少有一個負數，于是可以排除D;由于B、E中知b、c、d都小于零，要滿足abcd>0，必須有a<0，故可知最后應該選B。

由此可知，在解單項選擇題或者其他類似可以明顯的剔除掉不合適的答案的數學問題時，用剔除法解決問題能夠收到比正面解決問題更好的效果，這種解題思想也是逆向思維的具體體現.

眾所周知，證明一個命題需要嚴格的邏輯推理，而否定一個命題只需舉出一個反例即可.因此反例法也是逆向邏輯思維的一種很實用的方法.由下列例題的分析可了解：

例題4：若一個凸多邊形的對角線都相等，那么這個凸多邊形（ ）。

A.一定是四邊形

B.一定是五邊形

C.是四邊形或者五邊形

D.是各邊都相等的多邊形或各內角都相等的多邊形

分析：由于題中只給出了兩個條件，故無法綜合起來用正面分析或者采用剔除法將問題得到解決.因此現在可以從選項入手，考慮它們的反例情況，也就是說將選項通過反例推翻從而選出最佳的答案。

解：因為正五邊形是對角線相等的多邊形，但并不是四邊形，因此可以否定A選項;正方形是對角線相等的多邊形，但不是五邊形，因此可以否定B選項;等腰梯形的對角線也相等，然而它的各邊不都相等，各個角也不都相等，因此可以否定D選項，所以應該選的是C選項。

通過以上例題的分析，可以知道，反例法也適用在選擇題中，并且與剔除法有異曲同工之妙.所不同的是，此時不再是根據條件剔除選項，而是根據選項的反例進行選項的一個個排除.此外，還可以知道，有時候證明一個命題是假命題，不必舉很多的反例，只要能舉出一個符合條件但又與結語不相符的例子就可以了。在數學問題的解決過程中，有時候問題的證明并不是都要證明真命題，當遇到需要證明假命題時，鼓勵運用反例法，舉出反例，將問題得以解決。

所謂的待定法就是先設后定，在解題中，受結語啟發常可先設某個未定形式，然后根據已知條件加以確定，這種“先設后定”的方法也是一種逆向思維，如中學數學中的函數解析式的求解問題，就是先設函數的表達式，進行未定系數的待定，然后根據已知條件進行求解，從而求得待定系數的解.

例題5：已知二次函數y=ax²+bx+c過點A（1，0），B（3，0），C（0，-1），求該二次函數的解析式？

分析：由于題目中給的條件過少，且直接從問題已知條件深入較有難度，因此可以考慮從問題的逆向進行思索，先設后定，先設二次函數與點之間唯一可以涉及的關系，從而利用方程求出問題的解.從而得到解析式。

解：∵二次函數y=ax²+bx+c過點A（1，0），B（3，0），C（0，3），

∴a+b+c=0，

9a+3b+c=0

c=3

∴a=1，

? ?b=-4，

c=3

∴y=x²-4x+3

這用的就是比較典型的待定法。

俄羅斯著名教育家加里寧說：“數學是思維的體操”.正如體操鍛煉可以改變人的體質一樣，通過數學思維的恰當訓練，逐步掌握數學思維方法和規律，是可以改變人的智力和能力，也可以培養學生的創新精神和創新意識.

在數學教學的過程中，作為一位教師，應該要注意引導學生打破傳統思維定勢的束縛，在正向無法解決問題的情況下，靈巧的運用逆向思維方法，將問題靈活簡便地解決。教師在平時的教學中應該要注重學生“反向變題”能力的培養，注重反常規運算的可能，幫助學生更好地理解與掌握數學知識，提高他們的知識應用能力與逆向思維能力.

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