習(xí)以靜悟——三角形中位線教學(xué)的長成之路
——彰顯思維深度

鄒太芹

(安徽省合肥市第四十八中學(xué)濱湖校區(qū) 230000)

教材版本及內(nèi)容：滬科版八年級(jí)第19章19.2《平行四邊形》第4課時(shí)，三角形中位線定理 三角形兩邊中點(diǎn)連線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

一、教有來頭，學(xué)有去處

源頭平行四邊形性質(zhì)1：平行四邊形的對(duì)邊相等.

結(jié)論平行線間的平行線段相等.特殊化：平行線間的距離處處相等.

延伸路：(圖2)若再加一條平行線，且距離等于上兩條平行線間距離，即AD∥BC∥EF，且直線AD與直線BC之間的距離等于直線BC與直線EF之間的距離，點(diǎn)A、B、E在一條直線上，點(diǎn)D、C、F在一條直線上，AB∥CD，通過構(gòu)造三角形全等，得到AB=CD=BE=CF.

一般化：直線AB與直線CD不平行呢？通過轉(zhuǎn)化可以得到相互平行的情況可得：AD∥BC∥EF若AB=BE，則CF=CD(圖2).

結(jié)論：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等.

可解決問題：

1.過平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線，與平行兩邊所在直線相交，所得線段相等OE=OF;OM=ON(圖3)

2.任意等分線段：將線段AB五等分

為后面平行線分線段成比例定理埋下伏筆與種子(圖4).

設(shè)計(jì)意圖：知識(shí)不僅要長出來，還要有它的價(jià)值，通過方法策略內(nèi)化，成為原生價(jià)值.而且為以后學(xué)習(xí)平行線分線段成比例及相似三角形播下種子預(yù)留了接口.

二、數(shù)學(xué)本質(zhì)是形變質(zhì)不變

再生長路：(圖5)將直線AB與直線CD不平行再特殊化，兩直線交于點(diǎn)A(點(diǎn)A與點(diǎn)D重合)，通過化歸依舊得到：AD∥BC∥EF,若AB=BE，則AC=CF.圖形中出現(xiàn)我們經(jīng)常用到的三角形，那就把三角形單獨(dú)拿出來，寫出原來的已知條件與結(jié)論.

已知：如圖(圖6)，△AEF中，BC∥EF(直線AD隱去)，AB=BE.結(jié)論：AC=CF.

歸納結(jié)論：經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)，平行于三角形另一邊，必經(jīng)過三角形第三邊中點(diǎn).

引出三角形中位線概念：三角形中兩邊中點(diǎn)的連線段叫三角形中位線.

三角形中位線是三角形中重要線段，它有三條.作為重要線段需要研究它與其他元素間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.因?yàn)橹形痪€EF已經(jīng)經(jīng)過其中兩邊中點(diǎn)，顯然需要研究的是與第三邊的位置與數(shù)量關(guān)系.(如圖7)△AEF中AB=BE，AC=CF，觀察猜測(cè)，中位線BC與所對(duì)邊BC有怎樣的關(guān)系(位置與數(shù)量).

先猜測(cè)位置關(guān)系是BC∥EF

如圖(圖7)，△AEF中AB=BE，AC=CF.

求證：BC∥EF.

證法1:(圖8)利用中點(diǎn)構(gòu)造全等.

過F作AE平行線交BC延長線于點(diǎn)D.

易證△ABC≌△FDC,得到AB=DF，BC=DC.因?yàn)锳B=BE,所以DF=BE.

證法2：(圖9)分別過點(diǎn)C與點(diǎn)D作CD∥AE，交EF于點(diǎn)D，作BM∥AF交EF于點(diǎn)M，因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)C分別是中點(diǎn)，根據(jù)：經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)，平行于三角形另一邊，必經(jīng)過三角形第三邊中點(diǎn)，得到點(diǎn)D與點(diǎn)M重合，都是EF中點(diǎn).

結(jié)論：三角形兩邊中點(diǎn)連線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.稱為三角形中位線定理.

設(shè)計(jì)意圖：既有在原有知識(shí)基礎(chǔ)上的新生知識(shí)，也有運(yùn)用已有知識(shí)解決問題的內(nèi)化過程，使新舊知識(shí)成為一個(gè)體系.另外中點(diǎn)三角形，為后面中點(diǎn)四邊形埋下伏筆與種子.

三、新知在“復(fù)制知識(shí)”轉(zhuǎn)變中長起來

回到原有知識(shí)：梯形中位線(圖10)

三角形的重心(圖11).如圖：AD，BE，CF是△ABC的三條中線，且三條線交于點(diǎn)O.

證法略.

三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)和各邊中點(diǎn)的距離等于相應(yīng)各邊上中線的三分之一.

設(shè)計(jì)意圖：搭建知識(shí)生長的架子，在循環(huán)中再提升.

寫在最后的感悟：這是一條學(xué)習(xí)的生長之路，從“平行四邊形對(duì)邊相等”一個(gè)知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，沿著這條路長出來依次得到：平行線間的平行線段相等；平行線間的距離處處相等；平行線等分線段定理；經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)，平行于三角形另一邊，必經(jīng)過三角形第三邊中點(diǎn)；三角形中位線定理.

利用這些解決問題訓(xùn)練能力，得到等分線段的方法，梯形中位線及三角形重心的性質(zhì)定理.從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，串成一條線，最后織成一片網(wǎng).

這張網(wǎng)并不是到此結(jié)束，還預(yù)留了成長的穗子，比如中點(diǎn)四邊形，比如平行線分線段成比例定理，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等.知識(shí)的生長之路是一條順勢(shì)而為之路，邊學(xué)邊收獲，邊收獲邊欣賞.