坐標系與參數方程解題策略

秦坤超 第一中學 河北省衡水市

一、參數方程、極坐標方程與普通方程的互化

對于極坐標與直角坐標的相互轉化而言，直角坐標化為極坐標方程比較容易，只需將公式x=ρcosθ，y=ρsinθ直接代入并化簡即可；而極坐標方程化為直角坐標方程則相對困難一些，解此類問題，常用方法有代入法、平方法等，還經常會用到同乘(或除以)ρ等技巧.

在將曲線的參數方程化為普通方程時，不僅僅是把其中的參數消去，還要注意 x、y 的取值范圍，同時在消去參數的過程中一定要注意普通方程與參數方程的等價性.常見的消參數法有：代入消元(拋物線的參數方程)、加減消元(直線的參數方程)、平方后再加減消元(圓、橢圓的參數方程)等.而對于含三角函數的參數方程，經常使用的公式為sin2α＋cos2α＝1.在將曲線的參數方程化為普通方程的過程中，一定要注意參數的范圍，確保普通方程與參數方程等價，否則很容易因為忽略參數方程中的某些限制條件而失誤.

應該注意的是，極坐標方程與參數方程之間不能直接互化，必須以普通方程為橋梁，即將極坐標方程轉化為普通方程再轉化為參數方程，或將參數方程轉化為普通方程再轉化為極坐標方程，要注意普通方程與參數方程的等價性.

【例1】已知曲線C的極坐標方程為ρ＝2cos θ，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，則曲線C的參數方程為___________.

【解析】由 ρ＝ 2cos θ知，ρ2 ＝ 2ρcos θ

二、參數方程的應用

三、極坐標方程及其應用

求曲線的極坐標方程的步驟為：(1)建立適當的極坐標系，設P(ρ，θ)是曲線上任意一點；(2)由曲線上的點所適合的條件，列出曲線上任意一點的極徑ρ和極角θ之間的關系式；(3)將列出的關系式進行整理、化簡，得出曲線的極坐標方程.

由直角坐標方程化為極坐標方程，其方法就是把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入方程，根據三角函數公式整理．

【例3】在直角坐標系xOy中，直線C1：x＝-2，圓C2：(x-1)＋(y-2)＝1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

【解析】：(1)因為 x＝ ρcosθ，y＝ ρsinθ，所以 C1的極坐標方程為 ρcosθ＝-2，

C2的極坐標方程為 ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ＋ 4 ＝ 0.