淺談高中數學的落實問題

徐小榮

【摘要】數學解題教學在高中數學教學中占有很重要的地位，發揮著無可替代的教學功能，是高中數學學習的重要內容。在平時的數學教學中，我們常常發現，在數學解題活動中，總是會出現學生的解題錯誤。如何才能減少或避免學生數學學習中的解題錯誤呢？這是一個令廣大一線教師和學者所關注的問題。因此，研究高中生在數學學習中的解題錯誤極具現實意義與實際意義。本文就數學學習中解題錯誤的成因進行了理性的分析和歸納，并結合實際提出了糾正高中生數學學習中解題錯誤教學對策，注意強調解題后反思，注重培養學生良好的解題習慣。

【關鍵詞】高中數學 錯誤 成因分析 對策 反思

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）32-0128-02

1.高中數學常見解題錯誤類型

學習過程是最新學習內容與學生原有的認知結構相互作用、形成新的認知結構的過程，是對新知識同化和順應的過程所以在數學知識形成過程中，各階段、各層次都有可能導致錯誤的產生。由于產生錯誤的環節、背景不同，因而錯誤的形式、呈現方式也有所區別，結合我個人的實際教學經驗，發現高中生在數學學習中常見解題錯誤有以下幾種類型：

1.1.基礎不扎實

學生在數學解題中，常常出現一些“似非之錯”，如概念不清、性質不明、定理不熟、胡亂套用公式、法則用得不準確、計算不準確等導致的解題錯誤，其實這些都是學生基礎不扎實的具體表現。中學數學中有不少基本的概念，重要的性質、定理、公式、法則等，這些都是學生賴以進一步習得數學知識和解數學題的基礎，如果對它們掌握得不夠扎實，則很容易在解題中出現紕漏。比如說法則的運用，有些是有一定范圍的，稍不注意就會出錯，例如a∈R時，a=a.但z∈C時，z≠z，而是z=z·z；a∈R時，a≥0，但z∈C時，z≥0就不成了，當m，n為整數指數時對復數也成立，但當m，n為分數指數時，這些法則運用到虛數上就會出錯。如：i37=（i4）=（I）=1就大錯特錯，事實上，i37=i4×9+1=i，故i37不能（i4），寫成（i4）本身就是錯誤，再利用法則（am）n=am-n更是錯上加錯。

1.2思維不嚴密

“數學是思維的體操”，但是這項體操若沒做好，則容易在數學學習中犯一些思維不嚴密而導致的解題錯誤。我們發現，高中生在解數學題時，如果思維不嚴密，則容易出現審題欠仔細，理解欠準確，考慮欠周到，討論欠全面，分類欠嚴密，以偏概全，忽視題中的隱含條件，忽視對字母的討論，忽視定義域和值域的變化，忽視特例的補證工作等而導致的“遺憾之錯”。

例1：P點與兩定點例點與兩定點F1（-a，0），F2（a，0）（a>0）的連線的斜率的乘積是常數m，求點P的軌跡方程。討論當m的值變化時，軌跡是什么曲線？

誤解：設動點P的坐標為（x，y），則kPF=，kPF=……（1）

依題意，得·=m即mx2-y2=ma2……（2）

所以所求的曲線方程為：-=1……（3）

當m>0時，軌跡是實軸在x軸上，實半軸長為a，虛半軸長為的雙曲線；當時m<0，軌跡是一個橢圓。

剖析：此解法錯誤較多，錯誤之一：由（1）式知x≠±a，當x≠±a時的點是否在軌跡上，應予以明確；錯誤之二：由（2）式變形到（3）式，默認m≠0，這是不行的，對m≠0和m=0要分別討論。錯誤之三：討論欠全面。

解：設動點P（x，y），當x≠±a時，則kPF=，kPF=，依題意，得·=m，即mx2-y2=ma2，如果m=0，得y=0，軌跡是x軸（不含（a，0）、（-a，0）兩點），如果m≠0，方程mx2-y2=ma2可化為mx2-y2=ma2

（1）當m>0時，方程表示焦點在x軸上、實半軸為a、虛半軸為a的雙曲線（不含（a，0）、（-a，0）兩點）

（2）當-1

（3）當m=-1時，方程化為x2+y2=a2，是一個圓。（不含（a，0）、（-a，0）兩點）

（4）當m<-1時，方程表示焦點在y軸上、長半軸為a短半軸為a的橢圓。（不含（a，0）、（-a，0）兩點）

1.3解題不規范

眾所周知，數學的解題要求可用八個字來概括，那就是正確、嚴謹、簡捷、優美，也就是說，正確規范的解題過程會給人以數學美的感受。但是，如果解題過程不規范，則不僅不會給人以美的感受，還會影響解題的正確性，學生在這方面稍不注意，也非常容易導致解題錯誤。在教學實踐中，我們發現，學生解題不規范，主要表現為數學表達能力差、畫圖不準確、解題格式不明確等。

以上幾種常見高中生解題錯誤類型，僅限于筆者個人的實際教學經驗和積累所歸納得到的，如果從不同的角度與高度來研究，則還可以得到其它不同解題錯誤類型，本文限于篇幅和筆者的研究水平，也就不能一一詳盡。

2.糾正解題錯誤的教學對策

2.1樹立正確的“錯誤觀”

在高中數學教學中，教師只注重教給學生正確的結論，忽視揭示知識形成的過程，害怕因啟發學生進行討論會得出錯誤的結果，長此以往學生雖片面接受了正確的知識，但對錯誤的出現卻表現出看不出錯誤或看出錯誤但改不對，甚而弄不清錯誤的現象。因此，教師一定要樹立起正確的“錯誤觀”，錯誤不過是學生在數學學習過程中所做的某種嘗試，它只能反映學生在數學學習的某個階段的水平，而不能代表其最終的實際水平，在不斷的提出與修正錯誤中，對學生知識的完善和能力的提高會產生有益的影響，使學生學會分析，自己發現錯誤、改正錯誤、才不會害怕數學學習中的解題錯誤，才能在思想上建立改錯的信心，在行動上做出改錯的努力。

2.2糾錯時要進行錯誤分析

學生的作業、考試中常常會出現一些具有代表性的典型錯誤這些錯誤的出現反映出了學生學習中的薄弱環節，一般來說，也都是教材中的重點、難點、關鍵之處，或者是教學中出現漏洞的地方。只有對錯誤進行更加深入的分析，才可能將錯誤的深層原因揭示出來，才能讓學生心悅誠服。在教學中，教師有必要結合學生的錯誤，編選一些類似的題目，針對學生的錯誤加以糾正，補漏補缺讓學生在正、反兩方面比較，深刻理解，不再出現類似的錯誤，達到充實提高的目的。

2.3豐富課堂的組織形式、多方改錯

為了減少錯誤的發生，教學宜在易錯且不重視的地方著力，通常可采取以下方式改錯：（1）以學生活動為主，個人改錯與集體改錯相結合對所犯錯誤，自找錯因，尋求正確答案。進行個人自查這有利于加深認識，培養學生自我檢查、自我評價與自主學習的能力。集體改錯主要是以自學小組為單位，以集體的智慧和力量共同鞏固知識，矯正錯誤有利于發揚學生的合作精神，充分發揮學生的潛力；（2）以教師組織為主，學生參與，多途徑改錯。針對犯錯誤人數的多少，有時宜個別輔導，分散改錯，有時則需集體改錯等，總之，通過多形式、多途徑的改錯，使學生從錯誤中清醒，澄清了是非，彌補了知識的缺漏，幫助學生從錯誤中吸取教訓，引導學生走出誤區，從而深刻理解并牢固掌握了數學知識在一定程度上激發了學生的求知欲和學習數學的興趣，有力地提高了學生思維的嚴謹性、靈活性、深刻性和批判性。

2.4注意強調解題后反思

許多學生做了大量的數學題，成績卻不見提高，嚴重影響了學習數學的信心，在實際的學習中，學生為了提高數學成績，一味地追求做題的數量而不講究做題的質量，有的題型大量操練，而隱含的錯誤也重復的犯，有的錯誤甚至得到了鞏固，形成了習慣性的錯誤，克服起來更加困難。解題后反思是優良的學習習慣，它不僅能發現錯誤，克服錯誤，還能優化思維品質，提高學習效果。因此，我們應該注意向學生強調解題后的反思，更重要的是引導他們如何去反思。

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