巧解雙曲線的離心率問題

李建生

摘 要：通過列舉各種方法求解雙曲線離心率問題，讓學生掌握解決雙曲線離心率的方法與技巧

關鍵詞：直接法 通徑法 幾何法 設而不求法 導數法

雙曲線的離心率是雙曲線非常重要的性質，屬于高考高頻考點，重要性不言而喻。高考主要題型是求解雙曲線的離心率或求雙曲線離心率的取值范圍。

方法引導：

1.求雙曲線的離心率，解題關鍵是尋找a與c、a與b或b與c滿足的等式

結合得到，

也可以根據條件列含的齊次方程求解，注意雙曲線離心率的范圍對解進行取舍。

2.求解雙曲線的離心率的取值范圍，一般根據已知條件、雙曲線上的點到頂點和焦點的距離的最值、三角形兩邊之和大于第三邊等列出a、c滿足的不等式求解，同樣注意雙曲線離心率的取值范圍是。

典例分析，融合貫通

一、求離心率

典例1[2016年山東卷理科第13題]已知雙曲線

，

若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|=3|BC|，則E的離心率為：

[解法1]直接法：根據已知條件直接列出的關系式

由題意，所以，

于是點在雙曲線E上，代入方程，得，

在由得的離心率為.

[解法2]通徑法：根據通徑直接求出相關弦長

易得，，所以，

由，得離心率或（舍去），所以離心率為

典例2：已知F1，F2分別是雙曲線（a>0，b>0）的左、右焦點，過F1作垂直于x軸的直線交雙曲線于A，B兩點.若△ABF2為直角三角形，則雙曲線的離心率為（）

幾何法：根據幾何關系找出的關系式

解析：∵△ABF2是直角三角形，

∴∠AF2F1=45°，

|AF1|=|F1F2|，=2c.

∴b2=2ac，∴c2-a2=2ac，∴e2-2e-1=0.

解得e=1±.又e>1，

∴e=1+.

所以選A

二、求離心率的范圍

典例3：

[2018湖南省永州市一模]已知點為雙曲線右支上一點，分別為雙曲線的左右焦點，點為的內心（三角形內切圓的圓心），若恒有成立，則雙曲線的離心率取值范圍為（ ）

A. B. C. D.

直接法：根據題目已知條件列出關于a與c的不等式解析

如圖，設圓與的三邊、、分別相切于點，連接、、，則，

它們分別是的高

其中是的內切圓的半徑

因為所以，

兩邊約去得，

根據雙曲線定義，得，離心率為，雙曲線的離心率取值范圍為，故選A.

典例4：已知雙曲線C：-=1 （a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，點P為雙曲線右支上一點，若|PF1|2=8a|PF2|，則雙曲線C的離心率的取值范圍為

A.（1，3]B.[3，+∞）C.（0，3）D.（0，3]

幾何法：先求出，再利用三角形兩邊之和大于第三邊列出不等式

[解析]根據雙曲線的定義及點P在雙曲線的右支上，得|PF1|-|PF2|=2a，設|PF1|=m，|PF2|=n，則m-n=2a，m2=8an，∴m2-4mn+4n2=0，

∴m=2n，則n=2a，m=4a，

依題得|F1F2|≤|PF1|+|PF2|，當且僅當P，F1，F2三點共線時等號成立，∴2c≤4a+2a，∴e=≤3，又e>1，∴1

即雙曲線C的離心率的取值范圍為（1，3].選A.