淺談數學課中例習題的變式教學

魏述營

在數學教學中，例題和習題是課堂問題的主體，例、習題的變式訓練是鞏固知識，加深理解，培養方法，熟練技能的必要步驟。對例、習題進行恰當、合理的變式訓練，可以開闊學生的視野，激發學生的學習興趣，并能擺脫題海戰術，取到以少勝多，事半功倍的教學效果。

一、變式教學應注意的幾個問題

1.源于課本，自然流暢

重視課本，對課本的典型例、習題進行合理變式，通過一題多變，使學生加深對所學知識的理解和掌握。

例1、求函數的最大值及此時x的值（人教B版必修5第71頁例題）.

分析：此題考查利用均值不等式求函數最值應注意的問題——“一正、二定、三相等”，為使學生更好地掌握均值不等式的應用，可做如下變式，而沒必要做過多的不同題目。

變式1：函數有最大值還是最小值？

分析：變式1改變了變量x的符號，顯然當時函數有最小值。

變式2：函數的最大值還是嗎？

分析：變式2考查等號成立的條件，新授課只要求學生判斷最大值是否是，而不要求具體求出最大值，若是復習課，可結合函數的圖象，求出函數的最大值是。

變式3：求函數的最小值及此時x的值。

分析：將函數的分子、分母同除以x后，再利用均值不等式求解。

變式4：求函數的值域。

分析：

可將看作一個整體，將函數變形為，再利用均值不等式求得值域是。

2.循序漸進，有的放矢

變式訓練要由易到難，逐步深入，不可“一步到位”，否則學生會產生畏難情緒，并且變式要有一定的目的性。

例2、已知不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|xn}（m0的解集。（人教版必修5第100頁習題）

分析：此題常用的解法有兩種，一是利用函數、方程、不等式之間的關系求解，二是利用換元法，為便于學生理解換元法，可做如下變式。

變式1：已知不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|xn}（m0的解集。（令x=-t）

變式2：已知不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|xn}（m0的解集。（令）

做完這兩道變式訓練題之后，再用換元法（令）來解例2，學生便欣然接受了。

3.加強聯系，融會貫通

在講線性規劃問題時，例題中的目標函數大多是線性目標函數，如，或的形式，為加強知識的橫縱聯系，提高學生解決問題的能力，可將目標函數做如下變式。

變式1：

變式2：

變式3：

分析：解決以上問題，需要學生活用直線的截距、直線的斜率公式、兩點間距離公式及點到直線的距離公式，變式訓練讓學生在學習新知識的同時，對舊知識得到復習、鞏固和提高，從而提高了教學效果。

4.因材施教，靈活變式

新授課、習題課、復習課的變式要求不同，如新授課的變式應服務于本節課的教學目的，習題課的變式應以本章節內容為主，適當滲透一些數學思想和方法，而復習課則要加強知識的聯系，適度綜合，但要緊扣課程標準，不可脫離實際，并且要控制變式的數量和難度。另外，要根據學生學習中存在的問題，靈活編寫變式訓練，培養學生對知識的遷移能力，從而更好地掌握所學知識。

5.學生參與，師生互動

在變式教學中，一般是教師“變”題，學生做題，學生處于被動狀態。為此，教師可以鼓勵學生參與“變”題，由其他同學或老師來做。當然，很有可能學生“變”出來的題目是錯誤的，根本無法求解。這時，要求教師同學生一起分析問題所在，反而使學生對所學知識有更深入的理解，同時也培養了學生的創新意識和創新精神。

二、編寫例、習題變式的常用方法

編寫例、習題變式可通過改變運算符號、改變曲線類型、加強或弱化條件、交換條件和結論、變換圖形、探究新結論等方法完成。

例3、要使不等式| x+2|+|x-3|>a恒成立，求a的取值范圍。

“+”變“-”得變式1：要使| x+2|-|x-3|>a恒成立，求a的取值范圍。

“肯定”變“否定”得變式2：不等式| x+2|+|x-3|≤a的解集為空集，求a的取值范圍。

例4、直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于點A，B，求證：OA⊥OB.

交換條件和結論得變式1：直線y=x-2與拋物線y2=2px相交于點A，B，且OA⊥OB，求拋物線方程。

變式2：斜率為1的直線與拋物線y2=2x相交于點A，B，且OA⊥OB，求直線方程。

變探究性結論得變式3：已知直線y=x-2，是否存在拋物線y2=2px，使直線與其交于點A，B，且以AB為直徑的圓過坐標原點？

變式4：直線l： y=kx+m與拋物線y2=2x相交于點A，B，若以AB為直徑的圓過坐標原點，試判斷直線是否過定點？

在此基礎上，若將拋物線y2=2x改為橢圓，將原點改為橢圓右頂點，則變式4就變成了2007年高考山東卷的題目（文22，理21）。

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程;

（Ⅱ）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.

再看下面幾道考題

設O是拋物線y2=4x的頂點，A、B是拋物線上異于O的兩點，且OA⊥OB，OM⊥OB，M是垂足，求點M的軌跡方程。

（2005年高考廣東卷）在平面直角坐標系xoy中，拋物線y=x2上異于坐標原點O的兩不同動點A，B滿足OA⊥OB.

求△AOB的重心G的軌跡方程;

求△AOB的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值;若不存在，請說明理由.

以上考題均與上述例題有關，從近幾年高考題來看，課本的例、習題是高考題的“源題”，是對這些題目的變式和進一步延伸，使得題目更加精彩。教師在教學中，應善于對課本例、習題進行合理變式、挖掘、加工、改造，將練習題植根于教材，既減輕學生負擔，又能保證教學效果。