運用數形結合思想方法，培育高中生數學核心素養

顏學海

數形結合的思想方法是中學數學的重要思想方法，將數學中復雜的問題簡單化，通過結合抽象語言、位置關系等，達到優化解題的效果，提高學生的數學思維及綜合能力，培育學生的良好數學素養。

一、用數學結合的思想方法解決集合問題

例1：已知集合A={（x，y） ，則A∩B的元素的個數為（ ）。

A 0 B 1 C 2 D 3

分析：方法一：解方程組，故選 C

方法二：圓x2+y2=1與拋物線y2=4x有2個交點，故選C。很明顯，解法二，直觀明了，甚至想一想就可以得出答案。

例2：某校舉辦校動會，高三（1）班28名學生報名參加比賽，其中15人參加游泳項目，8人田徑，14人球類。同時報名參加游泳和田徑的有3人，游泳和球類的有3人，無人人同時參加三項比賽。問：同時參加田徑和球類比賽的有多少人？

分析：本題涉及到的文字信息比較多，學生初看容易混亂，建議采用韋恩圖，可直觀分析。

設同時參加田徑和球類比賽有x人，則只參加田徑比賽的有5-x人，只參加球類比賽的有11-x人。

∴ 9+3+5-x+3+x+11-x=28，∴ x=3。

二、用數形結合的思想方法解決三角函數問題

例3：已知，求f（x）的值域。

分析：求給定區間上的三角函數的最值或值域，是個抽象的問題，數學中的難點。應以畫圖的形式來進行分析思考。

∵，∴，令畫出函數的圖象，則易知，

∴f（x）的值域為。

例4 ：求下列函數的最小正周期。

（1） （2）

分析：（1），只需要畫出函數與的圖象，則可知它們的最小正周期都是π。

三、在幾何問題中運用數形結合的思想方法

例5 ：已知x，y∈R且滿足x2+y2-4x+3=0求：（1）x-y的范圍 ；（2）的值。

分析：方程x2+y2-4x+3=0表示以（2，0）為圓心，r=1為半徑的圓。令x-y=t，問題（1）轉化為直線x-y=t與圓（x-2）2+y2=1有交點時，t的取值范圍，實現“形”與“數”的轉化。由得。同理可解得（2）。

例6：求圓x2+y2-4x-4y+5=0的點到直線x+y-9=0的最大距離和最小距離。

分析：按一般思路，在圓上任取一點 P（x，y），則P到直線x+y-9=0的距離，采用一般函數求最值的方法，比較困難。如果畫出圖形容易看出，只需求圓心C（2，2）到直線x+y-9=0的距離，那么所求最大值為，最小值為。

四、運用數形結合解決數學函數與導數的問題

例7：已知f（x）=lgx-sinx，求函數f（x）的零點個數。

分析：直接解方程很困難。求f（x）的零點，即求方程f（x）=lgx-sinx=0的解。

即lgx=sinx的解，也就是函數y=lgx與y=sinx 的圖象交點的個數，因此，只要在同一坐標系中畫出這兩個函數的圖象即可。易知函數f（x）=lgx-sinx有3個零點。

例8：如果函數f（x）=x3-3x+m有3個不同零點，求實數m的取值范圍。

分析：先分析函數的單調性，畫出函數的簡圖，根據圖象來回答所求問題。

f '（x）=3x3-3=3（x2-1），令f '（x）>0得x<-1，

令f '（x）<0得-1

如圖所示， 有3個零點，需滿足，-2

根據以上例題可見數形結合的思想方法在數學教學的重要性，教師應著重培養學生的數學思維，不能只是重視“知識點”，開拓學生的思維模式。通過解決各種數學問題，達到培養學生從產生問題到思考問題，繼而運用知識點來分析問題，最后解決問題的能力，將數學應用意識和創新精神提到一個高度，以達到培育學生數學核心素養的教學目標。

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