探究性學習一例

殷仕剛

習題：試畫出一個圓與下面三個兩兩不等且外離的圓都相切。（注：本文所說的兩圓都是大小不等且外離的圓。

兩圓相切分內切與外切。要畫的圓可能與這三個圓都外切或都內切或與其中的兩個圓內切，而與第三個圓外切;或與其中的兩個圓外切，而與第三個圓內切，這樣的圓共有八個。這些學生都能考慮出來，但到具體畫時，問題來了，怎樣確定圓心、半徑？學生用圓規去“比”“靠”嗎？本文主要以如何畫與三個已知的圓都外切及都內切的圓為例，引導學生探究性學習，供讀者參考、指正。師：要確定一個圓，必須知道哪兩要素？

生：圓心、半徑。

師：在畫圓相切的過程中，不停地改變圓心位置或半徑去“比”“靠”行嗎？

生：有的說行，有的說不行。

師：如果這樣做可以的話，大家有沒有一種不準確、沒根據的感覺呢？

生若有所思，大家都點了點頭。

師：看來這個問題比較困難，要畫出的圓滿足的條件有三個。我們是否可以減少條件從簡單的著手，比如如何畫與一個已知的圓外切，與兩個已知的圓外切，進而與三個已知的圓外切呢？大家試試看。

畫一個與已知的0o，外切的圓，學生很快畫出，畫法如下：過圓心O，任作一條射線上任取一點0為圓心以OA為半徑畫圓。顯然這樣的圓有無數多個。

師：與已知的0o外切的所有圓的圓心的軌跡是什么？生有的答一條射線，少部分答圓Oo的外部。

畫與兩個已知的圓外切的同時，有的同學畫的兩個已知圓是等圓，有的不是。但他們都想到作兩圓連心線的中垂線，然后在中垂線上取一點作為圓心。前者能完成，后者無論怎樣變半徑都不能完成。

師：有的同學畫出來了，但他們畫的兩個已知圓是等圓，誰來

說一下畫圓過程？

生：作00，的中垂線，在中垂線上任取一點0，連接00（或002）交O0于A，以0為圓心，以OA為半徑畫圓，則這樣的圓與Oq，002都外切。

師：能證明嗎？這樣的圓有多少個呢？這些圓的圓心構成的軌跡是什么呢？（這些問題學生們都能一作答）

師：在前面的問題中，如果已知的三個圓都是等圓，要畫一個與它們都外切的圓，你能畫了嗎？

很快，就有幾個同學有了下面的作法：

1.任作兩條相等的線段AB、CD（其長應大于或等于r+r;+=KS）。

2.在AB上截取AE=7，在CD上截取CF=r。

3.以01為圓心EB為半徑作弧，以02為圓心以FD為半徑作弧兩弧交于0。

4.以0為圓心，以AB為半徑作圓，則這樣的圓就與都內切。按照此法，大家多畫幾個，可以看出這樣的圓的圓心的軌跡仍然是一條曲線。

那么與三個已知的圓都內切的圓的畫法是什么呢？

生：先畫與日0，00，都內切的圓的圓心的軌跡，再畫與00，2，00，都內切的圓的圓心的軌跡，兩條曲線的交點O就是要畫的圓的圓心，半徑是0與一圓心的連線及延長線與圓的交點到0的距離（如OA）

師：好！同學們，我們運用了化歸、比較、聯想，從特殊到一般等思想，進行了一節探究性習題課，望同學們以后遇到問題，多思考，舉一反三。