沖擊載荷下電機-多級齒輪系統動態特性研究

易園園， 秦大同， 劉長釗, 2

(1. 重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044；2.四川理工學院 過程裝備與控制工程四川省高校重點實驗室，四川 自貢 643000)

電機拖動齒輪傳動系統是一類典型的機電耦合系統，被廣泛應用于采煤機、風力發電機等重載、大功率機械裝備，這類裝備常工作在變載荷、變轉速等非穩態工況，易導致齒輪系統出現零部件故障及失效[1]，無法滿足機械裝備高可靠性的要求。因此，研究電機拖動齒輪系統在非穩態工況下的動態特性，實時監測其運行狀態，對保證機械裝備高可靠運行具有重要意義。

目前，大多學者在面對電機拖動系統時常將電機和傳動系統分開來研究。一部分學者以電機為主要對象，將傳動系統簡化為彈簧振子并附加在電機轉子上，建立了兩質量機電耦合轉子扭振模型。采用該模型，文獻[2-6]研究了磁場作用下轉子的非線性振動特性。兩質量模型計算量較小，但忽略了齒輪嚙合以及軸系扭振的影響，無法完整描述系統的固有振動特性，且不能反映傳動系統各構件的動態性能。另外一部分學者主要關注傳動裝置[7-11]，研究了系統的自由振動或受內、外部激勵時的強迫振動特性。這些文獻建立了完整的齒輪系統振動模型，但均未考慮電機電氣部分，而是將系統轉速和電磁轉矩設為已知條件。這種方式雖然簡單，但無法反映非穩態工況引起的電機瞬態響應及其對傳動系統的影響。

齒輪傳動常采用電機作為動力源，一些學者研究了齒輪系統扭振對電機電流信號的影響，試圖通過電流中包含的機械振動信息來對齒輪系統進行狀態監測和故障診斷[12-15]。但是，現有研究大多關注電機拖動單級齒輪系統，且主要分析穩態工況。

本文以某采煤機上的電機拖動多級齒輪傳動裝置為研究對象，分別采用集中參數法和等效電路法建立了齒輪系統和異步電機的動態數學模型，并通過電磁力集成得到了一個機電耦合模型。在此基礎上，研究了沖擊載荷激勵下齒輪系統的扭振和動載荷響應特性，并結合模態分析找到了系統的薄弱環節；研究了多級齒輪系統扭轉振動對電機電流信號的影響，分析了電流信號在穩態及瞬態階段所反映的機械振動頻率；通過比較分析了機電耦合振動對各級齒輪動載荷產生的影響；最后，通過臺架試驗驗證了仿真結果的正確性。研究結果可為電機拖動齒輪系統的動力學設計和狀態監測提供理論指導。

1 電機-多級齒輪系統機電耦合振動模型

1.1 齒輪副嚙合力模型

一對定軸齒輪嚙合的純扭轉動力學模型如圖1所示。θi是齒輪i(i=1、2)的轉角，其表達式如式(1)；ri為齒輪i的基圓半徑；k12、c12、e12和α12分別為齒輪副的時變嚙合剛度、嚙合阻尼、綜合嚙合誤差和嚙合角。

圖1 定軸齒輪副純扭轉模型

(1)

式中:ωi是齒輪i的剛體轉動角速度，由原動機的轉速實時決定；φi是疊加在剛體運動上的彈性扭振角位移。

以往研究者采用方波函數或通過傅里葉展開將嚙合剛度和嚙合誤差表示為時間的函數，這需要預先設定系統轉速隨時間的變化規律。當運行在非穩態工況，受電機電氣部分和系統外部負載共同作用，齒輪轉速和嚙合周期具有隨機性和時變性，不便再采用時間描述。但注意到不論轉速如何變化，每個嚙合周期內齒輪均轉動一個齒距角，因此，可采用齒輪轉角代替時間來表示嚙合周期，即

(2)

式中：Tm、θm分別為以時間和角度度量的齒輪副嚙合周期，Z1為齒輪1的齒數。

進一步，可采用傅里葉級數法將時變嚙合剛度、綜合嚙合誤差擬合為隨齒輪轉角定周期變化的函數

(3)

E1sin(θ1+η1)+E2sin(θ2+η2+α12)

(4)

相應地，齒輪副的嚙合力F12及單個輪齒受力Fj分別可表示為

(5)

式中：kj為單對輪齒嚙合一次所表現出的嚙合剛度。

1.2 多級齒輪系統扭轉振動模型

圖2為采用集中參數法建立的某采煤機傳動系統的扭轉動力學模型，系統由3級定軸齒輪和1級行星齒輪機構組成。圖中，θi為構件i(i=M,1,2,…,9,sg,pn,rg,c,L)的轉角，M、L分別為電機轉子和負載裝置；sg、pn、rg、c分別為太陽輪、行星輪n、齒圈和行星架。Ji為構件i的轉動慣量；kt、ct分別為軸t(t=1，2，…，5)的扭轉剛度和扭轉阻尼，可通過軸的尺寸估算[16]；krt和crt分別為齒圈扭轉支承剛度和支承阻尼；Te為電機電磁轉矩;TL為系統負載轉矩。

圖2 多級齒輪系統集中參數動力學模型

綜合考慮剛體轉動和彈性扭振，依據牛頓第二定律建立傳動系統各構件的動力學方程，如式(6)～式(9)所示。

以第一級定軸齒輪為例，其扭轉運動方程為

(6)

將行星齒輪機構轉化為隨行星架旋轉的定軸輪系，得到其扭轉運動方程為

(7)

式中：rc為行星輪中心分布圓的半徑；N為行星輪個數；Fin(i=r、s)為行星輪n的內、外嚙合力;嚙合變形δin與傳統行星齒輪機構振動模型相比具有不同形式

δin=ri(θi-θc)±rpθpn-ein(θi,θpn)

(8)

式中：±上面的符號對應外嚙合，下面的符號對應內嚙合；其它參數含義同圖1中保持一致。

電機轉子M的扭轉運動方程為

(9)

式中：cM為轉子轉動的黏性摩擦系數。在以往大多數文獻中，由于沒有建立電機電路模型，電磁轉矩Te常被視為一個已知的機械載荷，而在本文中Te是連接電機系統和齒輪系統的紐帶，且由兩者實時決定。

1.3 電機-齒輪系統機電耦合模型

本文中齒輪傳動系統由一臺鼠籠式三相異步電機驅動。采用Park變換，在兩相旋轉dq坐標系建立異步電機的等效電路模型[17]，對應的電壓方程、磁鏈方程和電磁轉矩方程如式(10)～式(12)。

(10)

(11)

Te=1.5ne(ΨdsIqs-ΨqsIds)

(12)

式中：下標d、q代表d、q軸分量；下標s、r代表定子和轉子上的量；U、I、R、L、Ll、Ψ分別為電壓、電流、電阻、自感、漏感及磁鏈；p為微分算子；Lm為定轉子互感；ω、ωr分別為dq坐標系的角速度和電角速度。

通過電磁轉矩Te將齒輪系統受迫振動模型和電機電路模型建立聯系，從而得到機電耦合動力學方程，如式(13)。

(13)

式中包含機-電-磁三個物理場：第一個方程代表機械傳動系統的強迫振動模型。θ為轉角向量；J、TL、E和Te分別為慣量矩陣、負載轉矩向量、嚙合誤差激勵向量和電磁轉矩向量；C、K分別為嚙合阻尼矩陣和嚙合剛度矩陣；C′、K′分別為扭轉阻尼矩陣和扭轉剛度矩陣。第二個方程代表電機電氣系統的等效電路模型。U、R、I和L分別為電壓向量、電阻矩陣、電流向量和電感矩陣，θr為電角度。第三個方程代表耦合磁場的動態模型，ne為磁極對數。

2 動態特性分析

采用MATLAB/Simulink搭建電機-多級齒輪系統的仿真模型，采用4階～5階Runge-Kutta算法求解系統的動態響應。模型中使用的主要參數見表1和表2。

2.1 自由扭振特性

對式(13)中齒輪系統受迫振動方程進行簡化，忽略各彈性構件的阻尼以及內、外部激勵，可得到系統無阻尼自由振動方程，其形式為

(14)

對式(14)進行特征值計算，求得系統固有頻率如表3所示。該系統主要包含3種自由扭振模式：全局扭振模式、定軸齒輪扭振模式、行星齒輪機構扭振模式。受電機電磁轉矩、系統負載轉矩等外部激勵作用，傳動系統可能產生由全局振動模式主導的響應；受時變嚙合剛度、嚙合誤差等內部激勵作用，由全局或局部振動模式主導的響應均有可能發生。

表1 機電系統主要參數

表2 齒輪主要參數

圖3(a)、圖3(b)分別給出了系統的1階扭轉振型和1階模態應變能分布，剛性構件i(i=M,1,2,…,9,sg,pn,rg,c,L)和彈性構件kt(t=1，2，…，5)、krt的含義同圖2中一致，彈性構件k12、k23、…、k89、ksn、krn(n=1，2，3，4)分別表示從電機端到負載端各齒輪副的嚙合剛度。

2.2 沖擊載荷下電機-齒輪系統響應特性

為研究沖擊工況下機電傳動系統的動態響應特性，對系統施加階躍載荷激勵，假設系統負載轉矩在6 s時由額定值TLN突增0.75倍，如圖4所示。

圖5(a)、圖5(b)所示分別為第一級齒輪時變嚙合剛度的時域和頻域響應，fm1表示嚙合頻率。嚙合剛度的幅值和頻率均具有時變特征，沖擊后，嚙合頻率及其倍頻隨電機轉速降低而減小，顯示出將嚙合剛度、嚙合誤差等齒輪系統時變激勵因素以齒輪轉角來度量的有效性。尤其對于受非穩態工況或運行轉速未知的齒輪系統，角度表示法由于不需要轉速信息，比傳統時間表示法更具優勢。

表3 系統固有頻率(Hz)和振動模式歸類

Tab.3 Natural frequencies and vibration modes classification

階數全局模式定軸齒輪模式行星齒輪模式120.7271.13393.24504.7593161 323.171 516.281 89692 001.9102 368.1112 368.1122 368.1132 620143 052.5153 758.1164 129.7175 189.9

(a) 1階扭轉振型

(b) 1階模態應變能分布

Fig.3 Torsional mode shape and strain energy distribution for mode 1

圖4 系統負載轉矩突然增大

(a) 時域

(b) 頻域

圖6(a)、圖6(b)分別為沖擊過程中第一級齒輪單個輪齒受力和電機軸轉速的時頻響應圖，fmg(g=1、2、3、4)表示從電機端到負載端各級齒輪的嚙頻。可以看出，負載突增后，各頻率對應的幅值相應增大。除受齒輪嚙合激勵產生穩態強迫振動外，傳動系統在受沖擊載荷激勵后產生瞬態自由衰減振動，兩種振動疊加使系統動載荷瞬間增大。

從圖6可知，自由振動的頻率為21 Hz，對應一階固有頻率fN1，表明系統瞬時響應由一階模態主導。結合圖3可知，受沖擊后，電機轉子和齒輪1反向扭振，將在電機軸上節點附近產生較大的扭轉切應力[18]；沖擊引起的系統變形能量主要集中于電機軸k1、太陽輪軸k4和齒圈支承處krt，表明這幾處為系統的剛度薄弱環節，在設計時可通過匹配這幾處的剛度，來提高傳動系統的抗沖擊性能[19]。

圖7(a)所示為沖擊過程中電機定子相電流的時域響應，圖7(b)、圖7(c)分別為穩態階段電流的頻域響應及其局部放大，fst(t=1、2、3、4)表示從電機端到負載端各傳動軸的轉頻。可以看出，電流以電源頻率fe為主導頻率，此外還包含微弱的機械振動信號。對比圖7(b)與圖6可知，電機軸上的扭振頻率在電流中均有所體現：在電源頻率兩側出現以各傳動軸轉頻為間隔的邊頻帶，可表示為|fe±fst|的形式；在高頻區各級齒輪嚙頻及倍頻以|fe±nfmg|的形式出現，n為嚙頻倍數。表明電流信號被傳動系統扭振信號調制，載波頻率為電源頻率，調制頻率為各傳動軸轉頻和各級齒輪嚙頻及其倍頻。與單級齒輪不同的是，多級齒輪間存在耦合作用，使頻譜中出現了|fe±(fm4-fs2)|和|fe-fs1-fs3|等組合頻率成分。此外，電流中與嚙頻有關的成分其幅值遠小于轉頻，結合式(9)可知，這是由于電機轉子慣量較大，起到了一定低通濾波作用。

(a) 第一級齒輪的輪齒力

圖8為沖擊過程中電機定子電流的時頻響應圖。系統受沖擊后，電源頻率fe兩側多出了以一階固有頻率fN1為間隔的邊頻成分，其頻率可表示為|fe±fN1|的形式，這與圖6中沖擊引起的瞬時波動特征保持一致。表明電流信號對傳動系統瞬態振動頻率也具有一定反饋能力。

2.3 不同齒輪副動載荷比較

使用系數KA和動載系數KV常用于衡量齒輪副實際動載荷偏離名義載荷的程度，定義KA和KV的計算式分別為[20]

(15)

(16)

(b) 頻域

(c) 頻域局部放大(0～100 Hz)

圖8 電機定子電流時頻響應(0～100 Hz)

式中:Fn為齒輪副的名義法向載荷；δE和δI分別為由負載轉矩變化和輪齒嚙合引起的齒輪副動態嚙合變形。

將傳動系統中齒輪副從電機端向負載端依次排序(行星齒輪機構外嚙合和內嚙合各視作一個齒輪副，分別對應序號7和8)，取各齒輪副的使用系數和動載系數進行比較。圖9(a)比較了在相同載荷條件下(見圖4)，采用機電耦合模型和純機械模型得到的各齒輪副的使用系數?？梢钥闯?，不同齒輪副的使用系數呈現出從高速級向低速級緩慢減小的趨勢，考慮電機磁場影響之后得到的使用系數比不考慮時要小。表明電機對傳動系統具有一定緩沖作用，這是由于定速運行電機的磁場具有電磁剛度和電磁阻尼[21]，能夠分擔并衰減一部分沖擊能量；建模時若不考慮電磁作用，將增加機電傳動系統的剛性。

為研究多級齒輪耦合振動對不同齒輪副的影響，將各齒輪副分別從傳動系統中提取出來，計算其獨立運行時的動載系數，然后與在系統中運行時進行比較，如圖9(b)所示。在相同的轉速和載荷條件下，各齒輪副在系統中運行時的動載系數與獨立運行時相比均有不同程度增加，高速級增加幅度比低速級大，且齒輪副2、3的動載系數最大。這表明將不同齒輪副集成在一個傳動系統中，相互之間將產生激勵作用，加劇了各自的載荷波動，且由于高速級齒輪名義載荷較小，其更容易受系統耦合振動的影響。

(a) 使用系數

(b) 動載系數

3 試驗驗證

為驗證上述理論研究所得結論，搭建了一個三相異步電機拖動兩級行星齒輪減速傳動系統的試驗臺，如圖10所示。在齒輪箱兩端分別布置HBM T40B型轉速轉矩傳感器，并采用LEM IT1000系列電流傳感器測量電機的定子電流，傳感器信號由QuantumX MX840B數據采集系統進行采集。采用電力測功機對傳動系統加載，使慣量飛輪上負載由2 500 N·m突增3.5倍。

定義軸的載荷系數為轉矩實測值與受沖擊前轉矩平均值的比值，圖11(a)、圖11(b)分別比較了受到沖擊瞬間和系統負載穩定階段齒輪箱輸入和輸出軸的載荷系數?？梢钥闯?，從高速級向低速級，載荷系數呈現減小趨勢，這與圖9中仿真結果相吻合。

圖10 電機拖動兩級齒輪減速傳動系統試驗臺架

(a) 沖擊階段

(b) 穩態階段

圖12(a)、圖12(b)所示分別為受沖擊時電機軸(即高速軸)負載轉矩和電機定子電流的時頻響應。圖12中，fmg(g=1、2)表示高速級到低速級齒輪副的嚙頻，fN1表示電機-齒輪試驗臺的一階固有頻率，fe表示電源頻率。可以看出，試驗結果與仿真結果類似，沖擊引起系統產生的瞬時振動頻率fN1在電流譜中有所體現。圖12(c)所示為穩態階段電機定子電流的頻域響應。圖12(c)中，虛線連接的頻率表示電源諧波頻率，fs1表示電機軸轉頻。與仿真結果類似，電流中包含齒輪系統轉頻和嚙頻信息；不同的是，實際電源中存在諧波干擾，容易使機械振動頻率淹沒在諧波頻率中，需要高精度電流傳感器結合信號去噪處理才能從電流中辨識出齒輪系統嚙頻信息。

(a) 沖擊階段電機軸負載響應

(b) 沖擊階段電流響應

(c) 穩態階段電流響應

4 結 論

(1) 綜合考慮齒輪剛體轉動和彈性扭振，將時變嚙合剛度和嚙合誤差表示為齒輪轉角的周期函數，建立了一種適用于非穩態工況的定軸齒輪和行星齒輪機構的扭轉動力學模型；在此基礎上，與異步電機等效電路模型集成，得到了一個電機拖動多級齒輪系統的機電耦合振動模型。

(2) 受沖擊載荷激勵后，該系統產生由一階模態主導的瞬時自由振動，電機軸、太陽輪軸和齒圈支承處的扭轉變形能量較大，為系統的薄弱環節。要提高該系統的抗沖擊性能，應合理匹配這幾處的剛度。

(3) 電機電流信號被齒輪系統扭振信號調制，多級齒輪耦合作用使電流中的頻率成分更加豐富；在穩態運行階段和瞬態沖擊階段，齒輪系統扭振特征頻率在電流信號中均有所體現。因此，電流不僅能用于監測齒輪系統的負載變化，而且可反映齒輪系統的振動頻率及運行狀態。

(4) 多級齒輪耦合振動導致載荷系數呈現出從高速級向低速級逐漸減小的趨勢，在設計多級齒輪減速傳動裝置時，應注意：①合理分配各級齒輪傳動比，相鄰齒輪間的名義載荷相差不能過大；②提高高速級齒輪的安全系數。