液體火箭POGO振動分析的矢量擬合法

2019-10-21 04:10:24劉錦凡唐國安

振動與沖擊 2019年19期

劉濤，劉錦凡，唐國安

(1.復旦大學航空航天系，上海 200433； 2.上海宇航系統工程研究所，上海 201109)

POGO是液體火箭飛行過程中一種常見的不穩定自激振動，是由于液體火箭推進系統與結構系統之間的耦合作用而產生，國內外眾多液體火箭在飛行過程中都經歷了POGO振動[1-2]。因此，POGO的抑制是液體火箭設計中的一項重要課題。

國內外學者對POGO振動開展了大量的研究工作，Rubin等[3-4]首次提出了POGO振動的傳遞矩陣模型，采用臨界阻尼法對POGO穩定性進行了研究。由于傳遞矩陣模型中含有超越方程和高階多項式，直接求解特征值十分困難，臨界阻尼法近似認為POGO振動的頻率為結構系統的振動頻率，這種假設很大程度上降低了POGO穩定性分析的計算量，因而得到廣泛應用。譚述君等[5]對臨界阻尼法的適用性進行了研究，指出當結構阻尼比小于推進系統阻尼比時，臨界阻尼法是適用的，反之則不適用。Oppenheim等[6]利用類似有限元的方法對推進系統的直管、蓄壓器、泵等典型物理部件進行了動力學建模，進而建立整個推進系統二階振動微分方程，實現了POGO振動的時域分析，該方法亦被稱之為狀態方程法。Wang等[7]針對狀態方程法中矩陣不滿秩給時域求解帶來不便的問題，對該方法進行了改進，建立了全微分形式的POGO振動模型，提高了計算的效率。牛澤雄等[8]指出傳遞矩陣模型比狀態方程模型更加精確，狀態方程法因對管路動力學的簡化描述，影響了POGO分析的精度。郝雨等[9-10]基于推進系統的傳遞矩陣模型，通過引入中間變量將其轉換為時域動力學模型，實現了POGO振動特征值的直接求解，但該方法為保證計算精度，需引入大量的中間變量，增加了計算規模和難度，此外該方法在處理時滯問題也存在一定的不足。

針對傳遞矩陣模型精度更高，但由于傳遞函數中存在超越函數，導致特征值密集且難以直接求解這一問題，本文以某型號液體火箭為研究對象，首先建立火箭POGO振動閉環傳遞函數，基于矢量擬合法獲取閉環傳遞函數的極點。進而對不同蓄壓器PV值下的POGO穩定性進行分析，確定了蓄壓器的設計狀態。通過與臨界阻尼法的對比，證明該方法具有更高的計算精度。該方法對其他液體火箭的POGO穩定性分析同樣適用，具有一定的工程意義。

1 POGO振動傳遞函數

(1)

圖1 POGO閉環系統原理圖

1.1 結構系統傳遞函數

在廣義坐標系下箭體結構的振動方程為

(2)

(3)

由此可得到箭體結構系統的傳遞函數

(4)

1.2 推進系統傳遞函數

液體火箭推進系統包含氧化劑系統和燃料系統，主要由輸送管(直管、彎管和波紋管等)、泵、阻力元件、蓄壓器和燃燒室等部分組成，如圖2所示。采用模塊化方法建立各部分的傳遞矩陣模型，該方法可以直觀并且精確的描述管路元件輸入輸出端脈動壓力與脈動流量之間的傳遞關系。對于直管、泵和阻力元件等部件的傳遞矩陣可參考文獻[3]。

圖2 某火箭輸送系統結構示意圖[11]

蓄壓器安裝在推進劑輸送管路上，是POGO抑制最有效的措施之一，蓄壓器傳遞矩陣為

(5)

(6)

(7)

式中:P1,P2,Q1和Q2分別為蓄壓器入口和出口的脈動壓力和脈動流量;P,V分別為蓄壓器初始壓力和初始容積;Px為發動機啟動活門入口壓力;K為絕熱指數;Ra,La分別為蓄壓器的等效電阻和等效電感。

文獻[3]中將燃燒室方程的時滯項進行了線性化近似，一定程度上簡化了計算，但當頻率較高時，傳遞函數的精度會受到明顯影響，本文采用的發動機燃燒室方程為

(8)

(2) 1981年年平均流量和年最大流量分別作為邊界條件時，巴塘河河道縱剖面總流速與流速水頭峰值出現位置基本一致。年最大流量下，河道縱剖面最末端最大總流速可達14 m/s，其他位置為0～5 m/s；年最大流量下，河道縱剖面最末端流速水頭達到11 m，其他位置為0～1.5 m。年平均流量下，河道縱剖面最末端最大總流速可達9 m/s，其他位置為0～4 m/s；年平均流量下，河道縱剖面最末端流速水頭達到4 m，其他位置為0～1 m。

作用在運載火箭上典型外力主要有：發動機燃燒室脈動壓力引起的脈動推力，貯箱底開口處的脈動壓力對結構的作用力，貯箱底開口處相對脈動流量引起的液體質心脈動對結構的作用力，泵前脈動壓力和動量變化對結構的作用力。通過模態坐標轉換，廣義力TN可表示為

TN=NAthCφePc+AtoφtoPto+NAtfφtfPtf-NAo3φpoPso-

(9)

式中:N為發動機數量;C為發動機推力系數;ho和hf分別為氧化劑和燃料的液位高度；Ato和Atf分別為與氧化劑箱和燃料箱底部相連管路的截面積；Apo和Apf分別為泵前管路的截面積；Pso,Psf,Qpo和Qpf分別為氧化劑泵和燃料泵的泵前脈動壓力和泵后脈動流量；Qto和Qtf分別為氧化劑箱和燃料箱箱底脈動流量；φto,φtf,φpo和φpf分別為氧化劑和燃料的箱底、泵前管路對應的振型。

根據推進系統各組件傳遞函數矩陣之間的關系，可得

(10)

式中:A和B為系數矩陣;X為各部件的脈動壓力、流量等狀態變量。由式可計算推進系統反饋傳遞函數H(s)。由于H(s)中存在時滯項和超越函數和高階多項式，給極點的直接求解帶來了極大的困難。

2 矢量擬合法

矢量擬合法是由B.Gustavsen提出的一種高效的有理分式擬合方法[12-14]，能夠將頻域離散數據按極點-留數的形式進行擬合，由于避免了在數值擬合過程中引起的不平衡加權及病態缺陷等問題，被廣泛應用于電力、控制等領域的頻率特性擬合。

對于某一函數f(s)，其有理分式逼近可表示為

(11)

(12)

將式中σ(s)乘以f(s)可得

(13)

式(13)為超定線性矩陣方程，將復頻域離散采樣值[s,f(s)]代入其中，通過最小二乘法可確定an,cn,d和h等未知量。

進一步，可將式有理分式采用零極點形式表示

(14)

(15)

通過式(14)～式(15)可得到

(16)

式(16)將求解f(s)的極點問題轉化為求解σ(s)的零點問題，即從非線性問題轉變為線性求解問題。

將求解得到新的極點作為初始極點再進行迭代計算，經過多個迭代步計算后可得到較為精確的極點。

3 POGO穩定性分析

將上述建模方法應用于某液體火箭的POGO穩定性分析中，選取火箭一級飛行0, 30 s, 60 s, 90 s, 120 s和150 s等6個典型秒態，研究各典型秒態下推進系統與箭體一階縱向振動下的POGO穩定性。

圖3為火箭一級飛行150 s時未安裝蓄壓器狀態下的推進系統和推進-結構閉環系統傳遞函數曲線。從圖中可以看出，推進系統傳遞函數在0～100 Hz有多個共振頻率點，而推進-結構閉環傳遞函數有一個較為明顯主共振點。

基于矢量擬合法對圖3中的傳遞函數曲線進行有理分式擬合，由于有理分式擬合精度與式(18)的N值有關，通常N值越大，擬合精度越高，但隨著N值增加，將產生大量不穩定的數學極點，影響傳遞函數物理極點的識別，本文引入模態辨識中的穩態圖法[15]來確定傳遞函數中穩定的極點。穩態圖法基本思路是：假定系統的階次從Nmin到Nmax，把各階次下的特征值計算結果畫在橫軸為頻率縱軸為階次的坐標圖中，可得到穩定圖。若每次增加階次后，得到的極點和留數在容差范圍內，則認為是相同的極點，且隨著階次的增加在穩態圖中形成多個穩定軸，穩定軸所對應的極點便是系統的特征值。

(a) 推進系統

(b) 推進-結構閉環系統

圖4為有理分式擬合結果，基于穩態圖可以確定在0～100 Hz內推進系統有5對共軛極點，如表1所示(表中只列出正虛部的極點，表2同)。推進-結構閉環系統有7對共軛極點，前5階極點如表2所示。表1中推進系統的一階頻率為12.57 Hz，與箭體縱向一階共振頻率12.8 Hz較為接近。由表2可知，推進-結構閉環系統一階共振頻率為12.44 Hz，對應極點實部為0.97，說明閉環系統是不穩定的，即出現POGO振動。表2中其他極點的實部均小于0，說明當箭體結構頻率與推進系統頻率較為接近時，容易出現POGO振動，而且POGO振動最有可能發生在箭體結構頻率點附近。

(a) 推進系統

(b) 推進-結構閉環系統

表1 推進系統極點

表2 推進-結構閉環系統極點

設計上，通過改變蓄壓器膜盒充氣壓力P和膜盒容積V來達到POGO抑制的效果。本文對蓄壓器PV值在0(未安裝蓄壓器)，0.003 92 MPaL, 0.039 0 MPaL, 0.078 4 MPaL, …,0.588 MPaL等17個狀態下的POGO穩定性分別采用矢量擬合法和臨界阻尼法進行分析。

圖5為各秒態下的臨界阻尼值。圖6為閉環傳遞函數在結構縱向振動頻率附近的極點分布。兩種方法都說明通過改變蓄壓器PV值可以達到POGO抑制的效果。而且兩種方法對POGO系統的穩定性的判斷是一致的。但矢量擬合法可有效解決臨界阻尼法的適用性問題，同時比臨界阻尼法具有更高的精度。究其原因是臨界阻尼法求解時近似認為出現POGO振動的點為箭體結構的共振頻率點，而實際上推進-結構耦合后POGO振動的頻率點有一定的改變，因此矢量擬合法的分析精度更高。