含多裂紋(群)鋼筋混凝土梁的自由振動研究

陳得良， 汪亞運， 吝國勝， 邱澤彬， 雷 偉

(1. 橋梁工程湖南省高校重點實驗室， 長沙 410004； 2. 長沙理工大學 土木與建筑學院， 長沙 410004；3. 中建三局集團有限公司工程總承包公司， 武漢 430061)

鋼筋混凝土梁作為重要的承力構件,具有廣泛的工程應用，其在制造和服役過程中，極易產生裂紋(群)。由于鋼筋混凝土梁為典型的非均勻材料(相對均勻的混凝土+單向鋼筋)，在出現裂紋后，因縱向鋼筋的約束效應，其動力學特性將不同于不考慮縱向鋼筋約束的均勻混凝土裂紋梁模型。

近年來隨著混凝土梁結構在土木工程的廣泛應用以及結構健康監測的需要，國內外學者針對含裂紋混凝土結構的靜、動力學問題進行了深入研究。王丹生等[1]利用結構振動波傳播理論及等效彎曲彈簧模型，探討了裂紋深度和位置對鋼筋混凝土梁各階固有頻率的影響。Hamed等[2]在考慮混凝土和預應力混凝土材料非線性行為的基礎上討論了裂紋幾何參數對結構振動頻率的影響，研究表明裂紋的存在將會降低預應力梁的自由振動頻率。Huszár[3]基于線性剛度和非線性剛度模型對具裂紋鋼筋/預應力混凝土梁的自由振動頻率進行研究，探討了預應力、自重等參數對結構頻率的影響。羅青松[4]利用有限元法分析了預應力鋼筋混凝土一階固有頻率與預應力大小、布筋方式、裂縫深度以及裂縫位置的關系。易偉建等[5]用Hilbert-Huang變換時析得到了具裂紋鋼筋混土梁的非線性動力特征,進而識別了梁的非線性動力特征，為通過梁的非線性動力特征來識別裂紋提供了依據。Capozucca[6]則對具裂紋PRC/RC梁的振動問題進行了試驗研究，并將相關試驗結果和理論分析結果進行了對比分析，研究表明混凝土梁材料的非均勻性和非線性都對含裂紋混凝土梁的動力學特性有重要影響。上述文獻中，對于含裂紋鋼筋混凝土梁和混凝土梁動力學的研究主要以單裂紋梁為研究對象。對于多裂紋梁的動力學問題，李學平等[7]討論了混凝土梁存在多裂紋時，其裂紋數量、位置、深度對結構固有頻率的影響，但未考慮鋼筋約束效應和裂紋區應力集中的影響。

本文將基于文獻[8-9]提出的裂紋影響因子，采用Euler-Bernoulli梁理論，并利用Hamilton變分原理建立考慮鋼筋約束和裂紋區應力集中雙效應下含多裂紋鋼筋混凝土梁的動力學方程。采用一種簡單有效的Taylor級數展開的數值方法，研究裂紋深度、裂紋數目以及裂紋群位置對鋼筋混凝土梁固有頻率的影響。

1 考慮鋼筋約束具多裂紋鋼筋混凝土梁的控制方程

考慮如圖1所示含n條裂紋鋼筋混凝土梁，設梁長度為l，梁截面高度為2d，寬度為2b。在截面中性軸上下房分別布置截面面積為AS1和AS2的鋼筋，距中性軸的距離分別為Za1和Za2。第i條裂紋距離梁端的距離為xci，裂紋深度為ai。

圖1 含裂紋鋼筋混凝土梁模型

鋼筋混凝土梁由混凝土和鋼筋兩種材料組成。為便于分析，文中將兩種材料均視為均勻彈性材料，并引入如下假設：① 應變沿截面高度線性變化；② 鋼筋和混凝土之間沒有相對滑移；③ 不考慮剪切效應；④ 只考慮微小變形，且裂紋未閉合。

基于上述假設，利用Euler-Bernoulli梁理論，得到含裂紋梁混凝土部分和縱向鋼筋部分的幾何方程和物理方程為

(1)

式中：n為裂紋數量；u和w為梁在x和z方向的位移；j=C、S分別為混凝土和鋼筋；Ts為裂紋影響因子，對于混凝土部分，當梁上不存在裂紋時Ts為0，存在裂紋時Ts=1。對于縱向鋼筋部分Ts始終為0。φi(x,t)為引入的裂紋影響因子函數，其具有應力在裂紋尖端最大，沿梁軸向呈指數衰減的特征具體形式如下

φi(x,z)=

(2)

式中：d為梁半截面高度，xci、ai分別為第i條裂紋的位置和裂紋深度。無量綱常數(控制裂紋尖端應力的衰減率，取值為1.276[10]。對于不超過中性軸的微小裂紋，忽略中性軸以上裂紋對應力、應變的影響。常數m為裂紋處應力沿橫向線性變化的斜率；u(d-a-z)為Heaviside函數。

(3)

(4)

利用Hamilton能量變分原理，推導含裂紋鋼筋混凝土梁的動力學控制方程。混凝土和鋼筋的動能表達式為

(5)

式(5)中第二項為高階小量，忽略不計，將式(1)代入式(5)并沿截面積分可得

(6)

式中：TC、TS分別為混凝土和鋼筋的動能。ρC、ρS分別為混凝土和鋼筋的密度；Vj表示混凝土和鋼筋的體積。

混凝土梁和鋼筋的應變能為

(7)

將式(1)代入式(7)并沿截面積分可得

(8)

式中：EC、ES分別為混凝土和鋼筋的彈性模量，且有

(9)

式中:zai(i=1,2)為鋼筋距中性軸的距離。

將式(6)和式(8)代入鋼筋混凝土梁的Hamilton能量變分方程

(10)

式中:T為系統的總動能;U為系統的總應變能;V為結構總外力勢能(對于自由振動V=0);δ為變分符號;t為時間變量。T、U的表達式為

(11)

由此可以得到含裂紋鋼筋混凝土梁的自由振動微分控制方程

(12)

文中主要考慮諧波振動，將位移函數分離變量，即：w(x,t)=W(x)T(t)，T(t)=eiωt。引入無量綱坐標ξ=x/l，則有：

(0≤ξ≤1)

(13)

式中:α1為含變量ξ的函數;α2為常數。表達式為

α1=ECf(ξ)+ES[fS1(ξ)+fS2(ξ)]，α2=ρCAC+

ρS(AS1+AS2)

2 問題求解

式(13)為含變系數高階微分方程，直接得到其解析解具有相當難度。為避免直接求解該方程，本文將引入一種簡單的方法來分析含裂紋鋼筋混凝土梁的自由振動問題。將W(ξ)以Taylor級數展開，有

(14)

式中：li為未知系數；N為級數展開項數。Ti(ξ)為Taylor級數展開式，其遞推關系如下

對于簡支梁，有邊界條件

將式(14)代入上述邊界條件，有：

(15)

由邊界條件能夠確定4個獨立的方程，未確定N個未知系數li還需N-4個獨立的方程。因此，將式(14)代入式(13)，則有

(16)

將式(16)兩邊同乘以ξt(t=0,1,…,N-5)，同時對ξ從0到1積分，得到N-4個獨立的方程

(17)

式中：

由邊界條件得到的式(15)和由控制方程得到的式(17)得到一個封閉的線性代數方程組，其矩陣表達式為

(F-ω2G)·{l}=0

(18)

式中：F=[fij]N×N;G=[gij]N×N;{l}=[li]N×1。

式(18)為含裂紋鋼筋混凝土梁自由振動特征向量方程。因為方程存在非平凡解，則方程的系數矩陣行列式為零，即

|F-ω2G|=0

(19)

從上述方程可知，當α1和α2為已知函數和常數時，式(19)得到的是關于固有頻率的方程，因此可獲得該方程求得含裂紋梁的固有頻率。

3 數值算例

考慮圖1中裂紋梁模型。其梁長l=2 m，半梁高d=0.1 m，半梁寬b=0.05 m。混凝土、鋼筋的彈性模量分別為EC=2.8×104MPa、ES=2.1×105MPa，混凝土、鋼筋的密度分別為ρC=2 450 kg/m3、ρS=7 850 kg/m3。中心軸上下方的鋼筋的截面半徑為r=0.005 m，鋼筋距中性軸的距離Za1=Za2=0.06 m。

3.1 有效性驗證

為了驗證該方法的有效性，本節對無裂紋素混凝土梁和無裂紋鋼筋混凝土梁的自振特性進行分析。通過數值解和理論解的比較來驗證文中方法的可行性和有效性。簡支梁的固有頻率理論解可以通過式(20)確定，式中ωn為簡支梁第n階固有頻率。

(20)

表1 混凝土梁前三階固有頻率

從表1可知，考慮縱向鋼筋約束時梁的固有頻率高于不考慮縱向鋼筋混凝土梁；無論考慮縱向鋼筋約與如否，當Taylor展開級數N=10時，得到第一階固有頻率數值解與理論值一致。當展開級數N=16時，得到的第二階和第三階固有頻率也與理論值一致。這表明，本文的算法，隨著展開級數N的增大，能得到更準確的固有頻率值，且接近理論頻率；對同一鋼筋混凝土梁結構，當計入縱向鋼筋約束效應時，其得到的梁結構固有頻率要大于不考慮縱向鋼筋約束效應時的頻率值，與實際相符。上述分析表明，本文提出的數值方法具有精度高且快速收斂的優點。

為進一步了驗證本文算法在計算含裂紋梁固有頻率的可行性，基于文獻[1]單裂紋均質混凝土梁模型，利用本文算法得到其前三階頻率并與文獻[1]的結果進行對比，其頻率比ωC/ωW，如圖2所示，其中ωC為利用本文算法得到頻率，ωW為文獻[1]結果，結果表明，在取N=10時，對于微小裂紋，其前三階頻率誤差在8.5%以內，且裂紋越小誤差越小。因此，引用裂紋影響因子函數來模擬裂紋對梁應力應變的影響是有效可行的。

圖2 前三階頻率比

3.2 裂紋數目對鋼筋混凝土梁固有頻率的影響

圖3給出了裂紋數目對鋼筋混凝土梁前三階固有頻率的影響，其裂紋均布于梁受拉下側。圖3中ω0.05/ω0為多裂紋鋼筋混凝土梁前三階固有頻率與無裂紋鋼筋混凝土梁比值，其中ω0.05為裂紋深度a為0.05時鋼筋混凝土梁的固有頻率，ω0為無裂紋時鋼筋混凝土梁固有頻率。

圖3 裂紋數量對固有頻率的影響

從圖3可知，隨著鋼筋混凝土梁上裂紋數量n不斷增加，鋼筋混凝土梁結構的前三階固有頻率都隨著裂紋數目的增加而減小，且隨著裂紋數目n增加其頻率減小的趨勢有所趨緩。

3.3 裂紋深度對多裂紋鋼筋混凝土梁固有頻率的影響

對于鋼筋約束效應裂紋深度對混凝土梁固有頻率的影響，給出了裂紋深度a從0～0.07 m變化時含裂紋梁的第一階固有頻率，其各裂紋深度相等且均布于梁上。其中，表2為不計入鋼筋約束效應時的結果，表3為計入鋼筋約束效應的結果。

分析表2和表3中數據可知，隨著裂紋深度的增加裂紋梁的固有頻率隨之減小，且隨著裂紋數量的增加裂紋梁固有頻率隨之減小。隨著裂紋的延伸，固有頻率的減小幅度越來越小，其原因在于文中引用的裂紋影響因子函數只適應于微小裂紋。對比表2和表3中數據不難發現，計入鋼筋約束效應影響的裂紋梁的固有頻率要大于不計入鋼筋約束效應影響的固有頻率；裂紋深度在0～0.07 m范圍變化時，計入鋼筋約束效應影響的裂紋梁的頻率減小幅度要小于不計入鋼筋約束效應影響的減小幅度。

表2 裂紋深度對固有頻率的影響(無鋼筋約束)

表3 裂紋深度對固有頻率的影響(有鋼筋約束)

3.4 裂紋群位置對固有頻率的影響

實際工程中，鋼筋混凝土梁結構的裂紋往往不止一條，并常以裂紋群的形式存在。設一裂紋群含有3條裂紋，其裂紋間距為d1=l/12，裂紋深度均為a=0.05m，中間裂紋距離梁端距離為xc。裂紋群在不同位置時，有裂紋鋼筋混凝土梁和混凝土梁與無裂紋鋼筋混凝土梁和混凝土梁的前三階頻率比值分別列于表4，其中頻率比ωC/ωn，ωC為利用本文算法得到頻率，ωn為相應混凝土梁的固有頻率。

表4 裂紋群位于不同位置時的頻率比

從表4中的數據可知，第一階固有頻率在裂紋位置為l/2附近時相對較小，第二階固有頻率在裂紋位置為l/4附近時相對較小，而第三階固有頻率在裂紋位置為l/6附近時相對較小。由此可知，當裂紋群位于振型波峰或是波谷位置時，對應頻率衰減幅度相對會比較大。對比前三階頻率比值可知，裂紋群位置對第一階固有頻率的影響相對第二階和第三階固有頻率要小。

3.5 多裂紋群位置對固有頻率的影響

對于多裂紋群位置對固有頻率的影響，本節中考慮鋼筋混凝土梁中存在兩裂紋群，其中每個裂紋群含有兩條裂紋，裂紋間距為l/48。假定裂紋群各裂紋的深度相同，其中一裂紋群位置不變，且位于梁左端l/6，二裂紋群位置變化，距一裂紋群間距為ld，含裂紋鋼筋混凝土梁前三階固有頻率比列于表5～表7，其中頻率比ωC/ωn，ωC為利用本文算法得到頻率，ωn為無裂紋鋼筋混凝土梁的固有頻率。

從表5～表7可知，隨著裂紋群間距的增加，鋼筋混凝土梁第一階固有頻率逐漸減小；第二階固有頻率和第三階固有頻率隨第二裂紋群位置變化的趨勢相近，呈現頻率先減小后增大再減小的趨勢，且裂紋群位置為對稱布置時的頻率最小；隨著裂紋深度的增加，鋼筋混凝土梁的固有頻率隨之減小，此結果與前述計算結果一致。

表5 裂紋群位于不同位置時的第一階固有頻率比

表6 裂紋群位于不同位置時的第二階固有頻率

表7 裂紋群位于不同位置時的第三階固有頻率

4 結 論

(1) 本文考慮了鋼筋約束效應的影響，通過引入裂紋影響因子函數來模擬裂紋對裂紋附近應力、應變的影響，運用Hamilton能量原理建立了含多裂紋鋼筋混凝土梁的動力學方程，并通過Taylor級數展開的數值方法求解該方程。通過和已有文獻結果比較，驗證了本文思路的有效可行性。

(2) 裂紋深度和裂紋數目的變化將導致梁固有頻率的變化，且隨著裂紋深度的擴展、裂紋數目的增加，含裂紋梁固有頻率隨之減小。

(3) 當裂紋群位于梁振型波峰或是波谷時，對應頻率的衰減幅度相對會較大。裂紋群位置對第一階固有頻率的影響相對第二階和第三階固有頻率要小。

(4) 對于含兩裂紋群鋼筋混凝土梁，其固有頻率隨裂紋群間距的增加而變化，其中第一階固有頻率的變化相比第二階和第三階固有頻率的頻率變化更具有規律性。