高斯函數性質的應用

勉輝

【摘要】在各級各類考試中，高斯函數是一個重要的命題知識點，由它設計出來的題目涉及數學的各個學科.本文在高斯函數定義和性質的基礎上，給出了涉及含[x]函數的不等式及含[x]函數的恒等式的應用.

【關鍵詞】高斯函數;高斯函數性質;應用

一、高斯函數的概念及其性質

（一）概念

設x∈R，用符號[x]表示不超過x的最大整數，則函數y=[x]稱為高斯函數，也叫作取整函數.顯然y=[x]的定義域為R，值域為Z.

（二）性質

（1）[x]≤x（等號成立當且僅當x為整數）.

（2）高斯函數[x]是不減函數，即x≤y[x]≤[y].

（3）當n∈Z時，[n+x]=n+[x].

（4）對于x，y∈R有[x]+[y]=[x+y].一般地，有∑ni=1[Xi]≤∑ni=1Xi，Xi∈R.

特別地，n[x]≤[nx]，x∈R.

（5）對x，y∈R+∪{0}，有[x·y]≥[x]·[y].一般地，有∏ni=1Xi≥∏ni=1Xi，Xi∈R+∪{0}.

（6）我們以y=[x]和y={x}為例畫出圖像，由圖像可知，y=[x]是階梯形上升的函數，y={x}是以1為周期的周期函數.

由圖像可知：（?。﹛1-x2≥1存在整數k，使x2

（ⅱ）[x1]=[x2]且x1≥x20≤x1-x2<1.

（ⅲ）0≤x1-x2<1[x1]=[x2]或[x1]=[x2]+1.

（ⅳ）|[x]|<|x|+1.

二、高斯函數的應用

1.不等問題主要涉及含[x]的不等式分析.此類問題的難度一般比較大.

例1求所有正整數n使得mink∈N*k2+nk2=1 991.

解mink2+nk2=1 991等價于（1）（2）同時成立：

（1）存在k∈N*，使1 991≤k2+nk2<1 992.

（2）對k∈N*，有k2+nk2≥1 991.

由（2）k4-1 991k2+n≥0k2-1 99122+n-1 99124≥0.

因mink∈N*k2-1 99122=1024-1 99122，

故有1 024-1 99122+n-1 99124≥0.

解得n≥1 024×967=990 208.

由（1）知，設k0∈N*，使k0-1 992k20+n<0

mink∈N*（k2-996）2+n-9962<0.

因為（k2-996）2的最小值為282，

故n<9962-282=1 024×968=991 232.

綜上所述，990 208≤n≤991 231（n∈N*）.

2.恒等問題主要是證明一些由[x]構成的恒等式.

例2已知n∈N*，求證：[n+n+1]=[4n+1]=[4n+2]=[4n+3].

證因為（n+n+1）2=2n+1+2n（n+1）及n

所以有4n+1<（n+n+1）2<4n+3.

即4n+1

另一方面，設k=[4n+1]，

于是有k2≤4n+1<（k+1）2.

因為任何一個完全平方數被4除后不可能余2，也不可能余3，所以有k2≤4n+1<4n+2<4n+3<（k+1）2.

即k≤4n+1<4n+2<4n+3

結合以上兩式知k=[n+n+1]=[4n+1]=[4n+2]=[4n+3].

【參考文獻】

[1]秦宗慈.一些取整數列求和公式及應用[J].數學通訊，1996（4）：25-26，27.

[2]陳傳理，張同君.競賽數學教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]吳康.奧賽金牌題典（高中數學）[M].桂林：廣西師范大學出版社，2004.