淺談元素結構法在數學解題中的應用

劉彥芳

摘 要：數學解題是數學學習的重要組成部分，華羅庚說過：學習數學不做題目，等于入寶山而空返。首先，解題是數學學習的核心內容；其次，解題是撐握數學，學會數學思維的基本途徑；最后，解題是評價學習的重要方式。而元素結構法在數學解題中起著舉足輕重的作用，它將會改變大多數人在解決數學問題時的一種固有思維模式，即例題+模仿+實際練習的模式，從而使數學問題得以解決。

關鍵詞：數學解題；元素結構法；數學思維；數學模型

一、元素結構法的意義及地位

數學解題在數學學習中發揮著巨大的作用。它是對人智力和思維的一種挑戰，是對沒有現成直接方法的探索，簡言之就是找出題解的活動。數學解題在數學學習中應用很廣，小至學生算出數學習題的答案，大至一個數學課題的結論。并且在新課程背景下的解題應改變過去那種只注重結果，強調結果的確定性的模式，轉變為注重解題過程中解題者尋找問題答案的過程，而這正好是元素結構法所說的尋找元素建立結構的過程。

數學解題中我們經常聽到有許多方法，如圖示法、列舉法、構造法等。但這些方法都只能解決某些特殊類型的題目，而元素結構法則適用于任意數學問題的解決，因為它是運用基本的數學思想來直接分析和解決數學問題。并且解題過程中的每一步都蘊含著一定的科學原理，因此解題者只要牢牢抓住這些原理，就不會有解不出來的數學問題。

元素結構法是數學解題中應用一般的、直接的思維方式，通過分析具體的命題，尋求其中的元素，在元素與元素之間建立一定的結構。由于數學是理性學科，其中數學解題中的每一步都有一定的數學依據，因此在解數學題時只要根據題目中的元素結構特征，利用各種知識之間的內在聯系和形式上的某種相似性，通過已知元素和未知元素之間建立一種數學結構模型，從而使問題得以解決。這種方法適合任意階段的數學學習，尤其在中小學時期最為重要，這是因為它是通過直接思維的方式交給解題者如何分析題意進行解題，這樣可以增加學生對數學學習的興趣，提高學生的創造思維，它在數學解題中的作用不亞于歐幾里德公理在幾何中的作用。

二、元素結構法的舉例應用

例1.三個相鄰的偶數之積是四位數，其末位是8，求這三個偶數？

分析：已知元素是三個相鄰偶數的乘積是四位數，該四位數的末位是8，未知元素是這三個相鄰偶數。

因而解題者可以用直覺思維估計一下這三個數的大致范圍，再根據已知條件分析它們之間的內在聯系，從而求出這三個偶數。

解：由于三個相鄰的偶數之積是四位數，而10×10×10=1000，22×22×22=10648，因此可以大致知道這三個數在10到22之間，即可能的取值是10、12、14、16、18、20、22，同時由于這四位數（三個偶數的積）的末位數是8，而10到22間的這幾個數中只有2、4、6的乘積為8，從而命題得解，這三個偶數分別是12、14、16。

例2.姐弟倆出游，弟弟先走一步，每分鐘40米，走了80米后姐姐去追弟弟。姐姐每分鐘走60米，姐姐帶著一條狗每分鐘跑150米，小狗追上弟弟后又去找姐姐，碰到姐姐后又去找弟弟。這樣來回地跑，直到姐弟倆相遇，小狗才停下來，問小狗共跑了多少米？

分析：本題由于來來往往牽連的元素較多，因此在元素結構的構建過程中須進行選擇性提取，顯然這是一道關于追及問題與一般路程的結合問題。

由于已知元素有弟弟、姐姐與小狗三者的速度；姐弟倆出發時間差，即80÷40=2（分鐘）；小狗所走的路程情況。未知元素是小狗在停下來時共走的路程，而路程=速度×時間。

解：根據題意可知，姐弟倆出發時間差，即80÷40=2（分鐘）；

姐弟倆的速度差=60-40=20米/分；

姐姐追上弟弟的時間為80÷20=4（分鐘）；

因此小狗跑的路程為150米/分×4分=600（米）。

至此，該問題通過4次應用元素間結構構建，使命題得以解決。

三、元素結構法的不足及改進

元素結構法是數學解題過程中分析題意的有力工具，無論任何復雜的數學問題，只要系統到每個元素，就必然能在兩個或兩個以上元素之間尋求聯系，建立相應的結構模型，從而使問題明顯化，簡單化，最終通過元素結構法使問題得以解決。但是任何事物都具有兩面性，因而元素結構法也存在著不足之處，這主要是由于現代解題模式受到程式化解題模式的影響，使解題者只知道模仿，而不去仔細分析問題，甚至不知道如何從題目中找出已知條件和未知條件之間的關聯，即不知道如何應用元素結構法分析和解決數學問題。面對這種情況，我們應該從小就養成應用元素結構法解決數學問題的習慣，這就要求我們的老師尤其是在中小學階段要注重引導，教會他們如何應用元素結構法分析和解決問題。只有這樣，才能使元素結構法真正用于數學解題，真正培養學生的獨立自主和創造性思維。

參考文獻：

[1]波利亞.怎樣解題[M].閻育蘇，譯.北京：科學出版社，1982.

[2]何小亞.解決數學問題的心理過程分析[J].數學教育學報，2004（3）.

編輯 王 敏