章勤瓊
【摘? ?要】小數可以看成是十進分數的特殊形式,在認識小數的時候要加強小數與十進分數的聯系,但這并不意味著一定要通過分母為10的分數來認識小數。通過分數來認識小數對學生來說存在困難,此階段學生所學的分數僅表示“部分與整體關系”的意義,學生認識的只是分數的形式,其認知結構中并沒有作為“數”存在的分數,因此無法真正建立小數與分數之間的關聯。在形式上建立的這種聯系可能導致兩種對小數認識的迷思:一是認為只要取到幾份就是零點幾,并不關注是否分成10份;二是認為平均分成幾份就是零點幾。為了幫助學生更好地認識小數并理解小數的意義,在教學中需要做到以下兩點:第一,淡化通過形式上的分數來理解小數,強調從“數”的產生的角度來認識小數;第二,通過多種表征讓學生積累“十分”產生小數的經驗,促進對小數意義的理解。
【關鍵詞】小數的認識;十進分數;位值制;數的產生
小數的認識是小學階段數學學習中“數的認識”的重要內容,對學生來說,這是數系統的一次擴充,更是對十進制系統的完善。一般認為,小數是分數的特殊形式——十進分數。因此,在很多教學安排中都是通過分數來學習小數。然而,張奠宙指出,他在讀小學的時候,是先學小數后學分數,而那時的教材編排也大多是小數在分數前面,“因為小數比分數容易,小數的計數原則跟整數一樣是十進制的,有整數老大哥幫忙,小數比較容易懂。”[1]
事實上,學生真正認識、理解小數卻并不簡單。有調查表明,四年級學生(已經學習《小數的初步認識》),對小數的認識積累了一定的生活經驗, 主要是在人民幣和長度單位方面,但僅僅停留在感性認識階段,缺少理性認識。70%左右的學生對小數的意義的理解已經達到事實性理解水平,但還沒有達到概念性理解水平。[2]也就是說,可能會讀會寫會用,但其實并不真正理解小數作為一種數的意義。
那么,借助分數的形式是否有助于學生理解小數,如何更好地幫助學生認識小數呢?我們應該對其相關數學概念進行梳理,進而對教學有進一步的思考。
從數的發展歷程來看,數的產生是先自然數(整數),然后分數,最后小數。[3]中國被認為是最早發明并系統掌握小數理論的國家。在中國,小數的產生和發展與計量學、律歷學、數學的發展密不可分。在計量學方面,出于非十進制單位換算的復雜性,度量衡朝著十進制的方向發展,而為了更精確地表示數量,度量衡又朝著創造更小單位的方向發展。在數學方面,劉徽最早明確了小數的概念,他在處理開方除不盡問題時,建議采用微數方法,“微數無名者以為分子,其一退以十為母,其再退以百為母。退之彌下,其分彌細,則朱冪雖有所棄之數,不足言之也”,這句話前半句就相當于現代數位表中的十分位、百分位及其含義。[4]
現代數學中對小數是這樣定義的:小數亦稱十進小數,是實數的一種特殊的表現形式。所有分數都可以表示成小數,根據十進制的位值原則,把十進分數仿照整數的寫法寫成不帶分母的形式,小數中的圓點叫作小數點,它是一個小數的整數部分和小數部分的分界號。而在小學數學教材中一般這樣呈現:把分母是10、100、1000……的分數改寫成不帶分母形式的數,叫作小數。[5]
從上述定義中可以看出以下兩點:第一,小數是通過十進分數來定義的,可以看成是十進分數的另一種形式。第二,十進制的位值原則是小數能夠產生的根本性質,這也是整數與小數能得以溝通的原因。因此,雖然在形式上小數可以看成是特殊的分數,但其產生并不一定需要分數,可以直接將整數進行“十分”“百分”……得到各位上的小數。
在現行的數學教材中,小數的認識通常分兩個階段進行,分別是“小數的初步認識”和“小數的意義與性質”。各教材的整體設計不盡相同,但在第一次“認識小數”時都把握了共同的原則:(1)基于學生生活經驗來學習小數,在具體的“量”中理解小數的現實意義,這里“具體的‘量”主要指錢數、長度;(2)“規定” 小數是十進分數的另一種表示方法;(3)溝通用“整數、分數、小數”都能表示同一個“量”。[6]
從各版本教材的共同特點來看,都強調小數是十進分數的另一種表示方法以及溝通整數、分數與小數之間的聯系。但需要注意的是,這并不意味著小數的學習一定要通過分數。在北師大版教材中,就直接通過溝通整數與小數之間的關系來認識小數,分數的學習在小數后面。因此,通過分數認識小數,是否可以幫助學生更好地理解小數的意義,需要更進一步的探討。
小數可以看成是特殊的十進分數,小數的產生也是以對“1”1進行十等分之后產生的。因此,在小數的認識的教學中,加強小數與十進分數的聯系是毋庸置疑的。正是基于這樣的考慮,不論是“小數的初步認識”還是“小數的意義”,很多教材都試圖通過分數讓學生認識小數。


事實上,建立小數與十進制的聯系,并非形式上的“[310]=0.3”,而應關注以下兩點:第一,只有將“1”平均分成10份,才能產生小數,即“十分”可以產生0.1這樣更小的計數單位,這與“十進”后可以產生“十”“百”“千”這樣更大的計數單位是相通的。第二,將“1”平均分成10份以后,取其中的幾份就是零點幾。在認識小數時,重視對這兩點的理解,更容易幫助學生理解小數的本質,也更符合學生認知結構中數系擴充的順序。如果將十進制在另一個方向進行應用,由積累成“十”到細分成“十份”,就能從自然數擴充到小數。這與“十分之幾就是零點幾”這樣的形式表述有著本質區別。