3/10米有助于學生理解0.3米嗎

章勤瓊

【摘? ?要】小數可以看成是十進分數的特殊形式，在認識小數的時候要加強小數與十進分數的聯系，但這并不意味著一定要通過分母為10的分數來認識小數。通過分數來認識小數對學生來說存在困難，此階段學生所學的分數僅表示“部分與整體關系”的意義，學生認識的只是分數的形式，其認知結構中并沒有作為“數”存在的分數，因此無法真正建立小數與分數之間的關聯。在形式上建立的這種聯系可能導致兩種對小數認識的迷思：一是認為只要取到幾份就是零點幾，并不關注是否分成10份;二是認為平均分成幾份就是零點幾。為了幫助學生更好地認識小數并理解小數的意義，在教學中需要做到以下兩點：第一，淡化通過形式上的分數來理解小數，強調從“數”的產生的角度來認識小數;第二，通過多種表征讓學生積累“十分”產生小數的經驗，促進對小數意義的理解。

【關鍵詞】小數的認識;十進分數;位值制;數的產生

小數的認識是小學階段數學學習中“數的認識”的重要內容，對學生來說，這是數系統的一次擴充，更是對十進制系統的完善。一般認為，小數是分數的特殊形式——十進分數。因此，在很多教學安排中都是通過分數來學習小數。然而，張奠宙指出，他在讀小學的時候，是先學小數后學分數，而那時的教材編排也大多是小數在分數前面，“因為小數比分數容易，小數的計數原則跟整數一樣是十進制的，有整數老大哥幫忙，小數比較容易懂。”[1]

事實上，學生真正認識、理解小數卻并不簡單。有調查表明，四年級學生（已經學習《小數的初步認識》），對小數的認識積累了一定的生活經驗， 主要是在人民幣和長度單位方面，但僅僅停留在感性認識階段，缺少理性認識。70%左右的學生對小數的意義的理解已經達到事實性理解水平，但還沒有達到概念性理解水平。[2]也就是說，可能會讀會寫會用，但其實并不真正理解小數作為一種數的意義。

那么，借助分數的形式是否有助于學生理解小數，如何更好地幫助學生認識小數呢？我們應該對其相關數學概念進行梳理，進而對教學有進一步的思考。

一、小數的定義及其與十進分數的聯系

從數的發展歷程來看，數的產生是先自然數（整數），然后分數，最后小數。[3]中國被認為是最早發明并系統掌握小數理論的國家。在中國，小數的產生和發展與計量學、律歷學、數學的發展密不可分。在計量學方面，出于非十進制單位換算的復雜性，度量衡朝著十進制的方向發展，而為了更精確地表示數量，度量衡又朝著創造更小單位的方向發展。在數學方面，劉徽最早明確了小數的概念，他在處理開方除不盡問題時，建議采用微數方法，“微數無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母。退之彌下，其分彌細，則朱冪雖有所棄之數，不足言之也”，這句話前半句就相當于現代數位表中的十分位、百分位及其含義。[4]

現代數學中對小數是這樣定義的：小數亦稱十進小數，是實數的一種特殊的表現形式。所有分數都可以表示成小數，根據十進制的位值原則，把十進分數仿照整數的寫法寫成不帶分母的形式，小數中的圓點叫作小數點，它是一個小數的整數部分和小數部分的分界號。而在小學數學教材中一般這樣呈現：把分母是10、100、1000……的分數改寫成不帶分母形式的數，叫作小數。[5]

從上述定義中可以看出以下兩點：第一，小數是通過十進分數來定義的，可以看成是十進分數的另一種形式。第二，十進制的位值原則是小數能夠產生的根本性質，這也是整數與小數能得以溝通的原因。因此，雖然在形式上小數可以看成是特殊的分數，但其產生并不一定需要分數，可以直接將整數進行“十分”“百分”……得到各位上的小數。

在現行的數學教材中，小數的認識通常分兩個階段進行，分別是“小數的初步認識”和“小數的意義與性質”。各教材的整體設計不盡相同，但在第一次“認識小數”時都把握了共同的原則：（1）基于學生生活經驗來學習小數，在具體的“量”中理解小數的現實意義，這里“具體的‘量”主要指錢數、長度;（2）“規定” 小數是十進分數的另一種表示方法;（3）溝通用“整數、分數、小數”都能表示同一個“量”。[6]

從各版本教材的共同特點來看，都強調小數是十進分數的另一種表示方法以及溝通整數、分數與小數之間的聯系。但需要注意的是，這并不意味著小數的學習一定要通過分數。在北師大版教材中，就直接通過溝通整數與小數之間的關系來認識小數，分數的學習在小數后面。因此，通過分數認識小數，是否可以幫助學生更好地理解小數的意義，需要更進一步的探討。

二、學生在認識小數中存在的困難

小數可以看成是特殊的十進分數，小數的產生也是以對“1”1進行十等分之后產生的。因此，在小數的認識的教學中，加強小數與十進分數的聯系是毋庸置疑的。正是基于這樣的考慮，不論是“小數的初步認識”還是“小數的意義”，很多教材都試圖通過分數讓學生認識小數。

事實上，建立小數與十進制的聯系，并非形式上的“[310]=0.3”，而應關注以下兩點：第一，只有將“1”平均分成10份，才能產生小數，即“十分”可以產生0.1這樣更小的計數單位，這與“十進”后可以產生“十”“百”“千”這樣更大的計數單位是相通的。第二，將“1”平均分成10份以后，取其中的幾份就是零點幾。在認識小數時，重視對這兩點的理解，更容易幫助學生理解小數的本質，也更符合學生認知結構中數系擴充的順序。如果將十進制在另一個方向進行應用，由積累成“十”到細分成“十份”，就能從自然數擴充到小數。這與“十分之幾就是零點幾”這樣的形式表述有著本質區別。