數形結合助推意義理解

邵珠利

【課前思考】

長方形是最基本的平面幾何圖形。它的形狀比較簡單，特征比較明顯，長方形面積的計算方法又是其他平面幾何圖形面積計算方法的基礎。從一年級學習“認識圖形（二）”開始，學生就不斷地與平面圖形中的這個“老朋友”打交道。翻閱人教版教材，繼三（上）學習了“長、正方形的認識”，三（下）學習了“長、正方形面積”計算后，學生對于長方形面積計算的簡單題型已經有了較為扎實的基礎。接下來在四（上）研究積的變化規律中，出現了解決長方形一個量不變另一個量變化求面積的問題（見圖1）。

在四（下）“運算定律”的學習中，安排了在求長方形菜地面積時運用“乘法分配律”的問題（見圖2）。

后續在五（上）“多邊形的面積”、五（下）“長方體和正方體”、六（上）“分數乘法”、六（下）“圓柱和圓錐”的學習中又涉及有關長方形面積的內容。

但綜觀教材編排不難發現：自學習了長方形面積后，四（上）與四（下）教材中的兩道習題編排比較分散，且都是教材已經畫好圖形，無須學生自己畫圖分析;除了在六（上）“分數乘法”學習時通過畫長方形幫助分析理解題意外，運用畫長方形的方法解決問題的學習幾乎一片空白。

基于以上分析，筆者在三（下）“長、正方形面積”學習后設計了“畫長方形解決問題（一）”，主要通過對具有“長方形元素1”的問題解決的過程，培養學生畫長方形解決問題的意識和能力，在數形結合的過程中培養學生分析、解決問題的能力，進一步加深對長方形長、寬以及面積的認知。

能否跳出“長方形元素”，進一步開拓學生視野，通過畫長方形解決問題的學習為學生打開另一扇窗？筆者想到在四（上）學習了“單價×數量=總價”“速度×時間=路程”這兩個數量關系式后，設計了“畫長方形解決問題（二）”，將不具有“長方形元素”的實際問題中的數量關系與長方形面積建立關聯，進而通過畫長方形，借數形結合助推對意義的理解，有效分析、解決問題。

【教學目標】

1.經歷畫長方形解決簡單實際問題的學習過程，感受畫長方形解決問題直觀形象的特點。

2.在解決實際問題過程中，掌握畫長方形解決問題的方法，感悟數形結合的思想。

3.感受數學與生活的密切聯系，初步形成靈活運用所學知識解決簡單實際問題的能力和意識。

【教學重點】掌握畫長方形解決問題的方法，滲透數形結合的數學思想。

【教學難點】畫長方形表達已知條件、所求問題以及根據所畫長方形確立解決問題方法的思考過程。

【教學過程】

一、課前互動，營造氛圍

介紹大關小學及區藝術節在大關小學申花校區舉行的情況。

二、對比關聯，初步感知

1.畫圖分析，列式解答

出示問題：在藝術節開幕式上大關小學應邀參加體操表演，每排20人。如果每排增加5人，就要增加75人。原來參加體操表演的同學一共有多少人？

要求：（1）先畫圖分析，再列式解答。

（2）完成后同桌交流：你是怎么畫的，又是怎么算的？

2.對比分析，感知模型

（1）四圖對比，建立關聯。

師：這幾位同學雖然畫的圖形不一樣，但算式都是相同的。75÷5=15（排），20×15=300（人）。

師：在這幾幅圖中，你更喜歡哪一幅，為什么？小組內交流你們的想法。

生：我們組喜歡第4幅圖。因為它比較簡潔，比較清楚。

生：我們組也喜歡第4幅圖。大家看，雖然線段圖比較簡潔，但是不能完整表示所有信息;畫圓圈圖雖然比較具體，但太麻煩了;第3幅圖雖然比前兩幅圖清楚，但還是有點麻煩;只有長方形圖比較具體，能表示出所有信息，比線段圖完整，比圓圈圖簡潔。所以我們組也喜歡第4幅圖。

師：這四幅圖之間有什么聯系呢？

生：第1幅圖表示的就是第2、3、4幅圖中一排的情況。

生：第2幅圖和第3幅圖的想法其實是一樣的，都是先表示出每排的人數（20人）;再表示排數，因為不知道具體的排數，所以兩位同學都加上了省略號。最后都在剛才的基礎上表示出每排增加5人，就增加75人。

生：第2幅圖、第3幅圖簡化后就是第4幅圖。每排的人數就是長方形的長;排數就是長方形的寬;總人數就是長方形的面積。

師：你們這個發現太棒了，我要把它畫下來并記錄下來（師在黑板上畫長方形）。

（2）拓展聯想，感知模型。

師：我們知道長方形的面積就是長與寬的積。通過剛才的分析，我們發現，長方形的面積還可以表示誰與誰的積？

生：每排人數與排數的積。

師：想一想，長方形的面積還可以表示誰與誰的積？

生：長方形的面積還可以表示數量、單價與總價的積。

師：你的意思就是長表示單價、寬表示數量，面積就表示總價。

生：長方形的面積還可以表示速度、時間與路程的積。

師：你的意思就是長表示速度、寬表示時間，面積就表示路程……

師：觀察這些數量關系，你有什么發現？

生：它們都表示兩個數的積。

師：是的，一般情況下，當表示兩個數之積的數量關系時，畫長方形更直觀，更便于幫助我們分析解答問題。

但在畫長方形時，我們一定要明確長表示什么、寬表示什么。（隨著學生的回答，形成了以上板書）

（設計意圖：學生對畫圖并不陌生，并且也比較習慣用畫實物圖、示意圖或線段圖來分析解決問題。此題信息中沒有“長方形元素”，自然不存在要求學生畫長方形的暗示。另外，筆者之所以沒有強調要畫長方形，目的就是暴露學生的原有認知。通過對四幅圖形的對比分析，學生充分感知了長方形圖的特點及畫法，初步感受到當表示兩量之積的數量關系時畫長方形更直觀、形象，但畫的時候一定要明確長表示什么、寬表示什么、面積又表示什么。畫長方形幫助分析解決問題即水到渠成。）

三、例一變式，對比畫法

師：同學們，剛才我們不知道排數，解決了這個問題。現在每排的人數也不知道，但是知道如果增加3排，就要增加60人。其他條件不變，你還會解答這個問題嗎？

要求：（1）先畫圖分析，再列式解答。

（2）完成后同桌交流：你是怎么畫的，又是怎么算的？

（反饋討論）

師：這兩位同學畫的圖形不一樣，你能看懂它們的意思嗎？

生：第一個同學分開畫兩幅圖，分析起來比較方便;第二位同學合在一起只畫一幅圖，更加簡潔。

師：我們可以像第一位同學這樣分開畫兩幅圖，也可以合起來只畫一幅圖，都能很好地幫助我們分析問題。

師：觀察圖形，你發現解答這個問題的關鍵是什么？如何列式？

生：關鍵就是要求出每排的人數和排數，即求出長方形的長和寬。算式是：60÷3=20（人）——每排人數;75÷5=15（排）——排數;20×15=300（人）——總人數。

（設計意圖：例1是一個量變化，畫長方形圖分析;而例2是在例1的基礎上，另一個量也發生變化，畫長方形圖分析。當兩個量都變化時，可以只畫一幅圖，比較簡潔;也可以畫兩幅圖，分析起來比較清楚。但不論如何，關鍵就是要明確長表示什么，寬表示什么，面積表示什么。）

四、課堂小結，明確關鍵

師：通過這節課的學習，你有什么新的收獲？

（根據學生概括適時生成板書）

師：你認為畫長方形解決問題的關鍵是什么？

生：明確長、寬所代表的量。

（設計意圖：通過對例1和例2的回顧梳理，進一步明確畫長方形解決問題的關鍵。）

五、圖形變式，綜合運用

師：接下來藝術節要進行的是合唱比賽，老師們計劃給合唱團的孩子們購買一批上衣。集團校長去詢問情況，兩位老師是這樣說的：

我去詢問情況，兩位老師又是這樣說的：

你們能幫我和校長解答這兩個問題嗎？

反饋交流重點關注：

第1題強調長表示什么、寬表示什么，“降價”怎么畫？

第2題強調對比分析：將畫成“一增一減”與“兩增”的圖形進行對比分析，為什么圖形不同，但得數相同？

（設計意圖：試一試1和試一試2的情境與例1和例2的情境不同，研究的是單價、數量與總價的數量關系;另外，畫圖方法也不相同，試一試1是“一減”的情況，試一試2是“一增一減”的情況。通過變換情境及改變畫圖方式，進一步培養學生據題畫圖并借圖析題的意識與能力。）

六、溝通模型，積累經驗

師：（同屏呈現）我們今天研究了一增、兩增、一減、一增一減四種情況，但不論是哪種情況我們都需弄清楚長表示什么，寬表示什么，面積表示什么。

（設計意圖：通過同屏對比，對今天所研究的四種模型進行整體感知，同時尋求共性，即畫長方形解決問題的關鍵就是要明確長表示什么，寬表示什么，面積表示什么。同時使學生進一步感知對于研究兩積關系的題目，用畫長方形的方式解決問題更直觀、形象，便于分析解決。）

【教學反思】

一、找準學習起點，引發有效學習

在“畫長方形解決問題（一）”中，因為有“長方形元素”，所以學生自然能想到畫長方形圖進行分析。而“畫長方形解決問題（二）”將不具有“長方形元素”的實際問題中的數量關系與長方形面積建立關聯，進而通過畫長方形，借數形結合助推對意義的理解，有效分析、解決問題。這對學生來說是具有挑戰性的。學生最初畫的線段圖、圓圈圖、簡化圓圈圖等都是對于解答隊列問題積累的原有學習經驗的有效提取，通過對不同圖形的對比分析，不斷明晰畫長方形解決問題的優越性，對畫長方形解決兩量之積數量關系的問題也達成了共識。

二、創設優質情境，保持探究興趣

學生是否能夠進行自主學習以及自主學習投入程度如何，主要取決于教師創設的問題情境的優質與否。本課中圍繞藝術節參加隊列表演的人數、合唱隊購買服裝等實際問題展開探究，從例1變式到例2，從畫一邊、兩邊增加的長方形圖到畫一邊減少，一邊增加、一邊減少的長方形圖，學生始終保持較高的探究熱情。情境看似不變，卻又著實發生變化;圖形看似相同，但的確又不相同，不相同之中又有相同之處。學生探究其中，其樂無窮。

三、 加強對比關聯， 感悟畫圖關鍵

“畫長方形解決問題（二）”從“一增”“兩增”到“一減”“一增一減”，圖式在不斷發生變化。在解決這些問題時，學生不但要掌握長方形圖的畫法，更應明確畫長方形解決問題的關鍵就是要確定長表示什么，寬表示什么，面積表示什么。因此筆者創設多次對比關聯的學習活動，增強學生對這一關鍵問題的感悟，不斷積累學習活動經驗。

四、數形有效結合，積累活動經驗

其實，畫長方形圖是解決問題的一種有效策略，在解決平均數問題、分數乘法問題以及一些稍復雜的兩量之積數量關系的問題時，畫長方形圖往往會使問題變得簡單易懂。

數學家華羅庚說：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。”對于解決兩積數量關系的問題畫長方形圖更加直觀、形象，有助于分析數量關系，促進學生對題意的有效理解，這彰顯了數形結合的魅力。形使數更直觀，解題更加有效，課堂更加精彩，在不斷畫圖分析的過程中，經驗積累更加到位。

（浙江省杭州市申花小學? ?310000）