我與數(shù)列的一次親密接觸

安徽省六安市第一中學(xué) 吳 兵

我在學(xué)習(xí)數(shù)列時無意之中發(fā)現(xiàn)了一個規(guī)律，其實這個規(guī)律我在小學(xué)時便初有體會：2，4，6，8，…一個典型的等差數(shù)列，可那時不懂，只知道相鄰兩項相減后為一個常數(shù)；后來初中做中考試題時經(jīng)常遇見找規(guī)律的題目，如：2，5，10，17，26，…稍加嘗試便可得出關(guān)系為x2＋1；到了高中，在學(xué)習(xí)物理時，勻加速直線運動相鄰兩個等時間間隔的時間內(nèi)，路程Δx＝aT2，定值！結(jié)果運用到數(shù)學(xué)上，有：發(fā)現(xiàn)差值為定值，由于當時自己沒有能力證明，故而不敢進一步論斷之后的3次方……n次方，如今我們學(xué)完了“二項式定理”，我認為自己可以進一步論斷了.

對于一個自然數(shù)范圍內(nèi)滿足一定函數(shù)規(guī)律的數(shù)列而言，均可以將其通項公式寫成an＝①，則第n-1項

從中取一個一般情況來進行分析：

如第1項：b［nx-（n-1）x］，分析其內(nèi)部的nx-（n-1）x，由于x∈N*，且有定理可知：

如an＝n3＋n2-1的前幾項：

最終結(jié)果為常數(shù)6.而反過來想經(jīng)過3次相減后才得到常數(shù)6，故而原數(shù)列通項公式方程中最高次項是3次項，則可以令an＝an3＋bn2＋c，再用（1，1），（2，11），（3，35）代入后即可求出a，b，c，進而得到通項公式.

當然，有趣的是有一次我遇見了一個這樣的數(shù)列：

發(fā)現(xiàn)無論如何相減都減不出常數(shù)，反而在不斷呈現(xiàn)被減數(shù)的變化特征，后來用高中正常的方法一求，發(fā)現(xiàn)其通項公式為an＝2n＋n-1，這才知道因為2n的存在才導(dǎo)致這樣的結(jié)果.

對于這種題目，也可以用我的方法進行探究.請看：

解a1＝2，a2＝2（2＋a1）＝8，a3＝22，a4＝52，a5＝114，a6＝240，a7＝494，….

可見經(jīng)過一次降冪后出現(xiàn)以23，24，25，…變化的“循環(huán)數(shù)列”，差值不可能減到常數(shù)，可知一次降冪后得到的只是以b·2n變化的數(shù)列，故而可設(shè)原數(shù)列an＝b·2n＋c.由于c經(jīng)過一次降冪便可消去n，則c為一次關(guān)系，所以可設(shè)an＝b·2n＋pn＋q.

（說明：就算為2n＋1，則b＝2，但循環(huán)數(shù)列中僅以8，16，32，…即4·2n在變化，則可知b定為常數(shù)）

將a1＝2，a2＝8，a3＝22代入得：

之后可用數(shù)學(xué)歸納法進行嚴格證明.

①a1＝2，滿足an＝23-2-4＝2.②設(shè)當n＝k時ak＝2k＋2-2k-4，

則當n＝k＋1時，有ak＋1＝2（k＋1＋ak）＝2（k＋1＋2k＋2-2k-4）＝2（2k＋2-k-3）＝2k＋3-2（k＋1）-4＝2（k＋1）＋2-2（k＋1）-4，成立.

綜合①②可知an＝2n＋2-2n-4為其通項公式.

雖然步驟繁鎖，但至少對于較難的數(shù)列題提供了一個方法.

我曾經(jīng)和同學(xué)交流過這種方法，他認為我這種方法不好，太麻煩，但我不這么認為，雖然我明白這種方法可能價值有限，也沒有查過是否已經(jīng)有人發(fā)現(xiàn)了這種規(guī)律（編者注：這是一種數(shù)學(xué)上的“差分法”，吳兵同學(xué)獨立發(fā)現(xiàn)此法，頗不簡單，贊?。?，但我束縛不住自己這顆年輕而又從未放棄對巔峰追求的心，高考過后，或者等到我學(xué)習(xí)大學(xué)里相關(guān)知識，我會將這個規(guī)律再向前推一步，融入極限的思想，相信還會有另一番收獲.