“三足鼎立”，不等立威

江蘇省溧陽市埭頭中學 呂 磊

眾所周知，不等式在高考中有著舉足輕重的地位.除了基本的解不等式以及基本不等式外，不等式與其他知識的綜合考查應當引起我們的重視.函數與方程向來不離不棄，在等到不等式這位“兄弟”結成聯盟后，其威力無疑又上了一層.如何在復習時打好基礎、鞏固所學呢？我們需要細細品味不等式在其中所起的作用.

“不等”是絕對的，“等”是相對的.“等”與“不等”并不是敵對的雙方，它們之間有著千絲萬縷的聯系.很多時候需要借助對方才能解決自身問題呢！

分析 給出的已知條件是一個方程，如何抽絲剝繭般抽出有用的信息來建立不等式是關鍵.與一般方程不一樣的是，該方程中含有指數，此時我們要能聯想到2x與4x之間的平方關系，利用換元法將該方程轉化為一個二次方程.轉化的過程當中，需要特別留心變量的范圍；由“等”到“不等”，也要綜合考慮轉化的作用.

解令2x＝t（t＞0），方程即轉化為t2＋at＋a＋1＝0在（0，＋∞）上有解.這是個存在性問題.

法一：（分離常數）t2＋1＝-a（t＋1），

兩次換元，均需注意變量的取值范圍.若需要令t＋2＝m，則要求m＞2，于是后面的便取不到，后續的結論就要更改了.

法二：（分類討論）令f（t）＝t2＋at＋a＋1.要求關于t的方程t2＋at＋a＋1＝0在（0，＋∞）上有解，

即要求f（t）與x正半軸有交點.

可分以下三種情況：

①f（t）與x 軸有且僅有一個交點，且正好在x 的正半軸，Δ＝a2-4a-4＝0且可得

②f（t）與x 軸有兩個不同交點，其中恰有一個在x 的正半軸，Δ＞0且f（0）＝a＋1≤0，可得a≤-1；

③f（t）與x 正半軸有兩個不同交點，Δ＞0，f（0）＞0，可得-1＜a＜2

換成“正常”的解法來解答，略顯繁瑣，需要分三種情況進行討論.這里可看成是不等式與函數的一次結合.但這是我們在高一時所熟知的方程轉為不等式的方法，不妨畫個草圖，可以幫助我們理清思路，避繁就簡.兩種方法各有千秋，需要我們細細品味.

分析要求函數圖象與x軸的交點，即需求方程f（x）＝0的解.

解考慮方程f（x）＝x［kx-（k2＋2）］＝0，解之得x1＝0，

函數、方程、不等式，三者在此題中結合得恰到好處.

分析此題的關鍵是對自變量的選取，若想當然地把x作為自變量，再分離常數或轉化為函數問題，則非常復雜；但是若能考慮到已知的是m 的取值范圍，只要把m 看作自變量，則可轉化為一次函數的恒成立問題來輕松求解.

解由題知（2x-1）-m（x2-1）＞0在m［-2，2］上成立.

可令f（m）＝（1-x2）m＋2x-1，m∈［-2，2］，

由于是關于m 的一次函數，所以原問題可轉化為

不等式在高中數學中的運用非常廣泛，很多時候，函數與方程都是為不等式“服務”的.此處只是簡單地舉了幾個例子，如何有效突破這類“三足鼎立”問題，還需要我們在夯實基礎的前提下，細心歸納、理清脈絡，讓三者皆為我所用.