攻克多元不等式問題

江蘇省溧陽市埭頭中學 吳耀軍

多元不等式問題中，由于未知的元不止一個，無法單純地判斷某一個的范圍，常需要利用基本不等式來解決.多元問題一般屬于較難題，如何有效突破這類問題，進而提高解題應變能力，以期養成良好思維品質，是我們“準高三”學生應該多加思考的.下面筆者通過實例講起，試圖探索該類問題的常見解法.

一、問題展示

題已知實數x，y滿足x＞y＞0，且x＋y≤2，則的最小值為____.

分析由條件x＞y＞0知，x-y＞0，x＋3y＞0，故（x＋3y）＋（x-y）＝2x＋2y≤4.

點評此處筆者提供的方法中，巧妙地運用了來轉化目標式，這種思路的關鍵是需要發現目標式中分母x＋3y與x-y的和與條件中x＋y的倍數關系，將x＋3y與x-y看成整體，即（x＋3y）＋（x-y）＝2x＋2y，故有在解決本類型問題時，注意目標式結構特征顯得尤為重要.

二、拓展延伸

我們應該多想一步：命題者為何會這樣出題呢？

分析由等量關系x＋2y＝2，而目標式即為可以直接采用常數代換或者消元減少變量轉為函數問題.

解法1（常數代換法）8）＝9.

解法2（消元法）由x＝2-2y＞0知，0＜y＜1，

分子分母同除以t得

（當且僅當t＝2時取“＝”）

這里也可以采用求函數最值的一般方法，如二次函數、求導等.再看下題.

分析條件與題1類似，但目標表達式分子次數為2次，結構相對復雜，需要將分子拆為分母的形式或使用換元法整體替換.下面僅用換元法示例.

解（換元法）令m＝x＋2＞2，n＝y＋1＞1，則m＋n＝4，

本題若采用消元策略，則函數式較復雜，運算過程較繁，不建議使用.

三、點滴思考

思考1：高中數學中，線性齊次約束條件下的線性目標最值或范圍求解問題一般用線性規劃方法解決即可，而對于非線性目標最值或范圍求解問題，除了有特殊的幾何背景外一般可以有以下步驟分析解答.

（a）觀察所給條件，若條件中變量都為正實數，則優先考慮使用基本不等式工具解決.

（b）結合條件，分析所求目標結構特點，如變量出現在目標式分母位置，考慮分母相加是否與條件有等量或大小關系，具體可參考上例，利用整體思想、常數代換法、換元法等價轉化解決.

（c）除上所述，若條件中變量可以相互轉化表示，則亦可考慮消元法，減少目標式變量出現位置，甚至減少為只含單個變量，從而直接轉化為函數，利用函數的方法加以解決.當然同時也要注意變量限制，即函數定義域.

思考2：若所給題目中含有3個變量，一般也是利用整體思想，把表達式看成2個部分.如題：設正實數x，y，z 滿足x＋2y＋z＝1，求的最小值.此題中把x＋2y＋z轉化為x＋y，y＋z兩個整體的和，然后在目標表達式中采用常數代換法即可.

高中數學中多元問題類型多樣，內涵豐富，但熟能生巧，期待勤奮好學的你能利用復習的契機，勤歸納、多探究，鋪好復習之路.