利用導數求函數極值（最值）或單調性分類討論問題

南京市教學研究室 龍艷文

導數這一章節的重點問題為利用導數研究函數的單調性和極（最）值問題，其中難點為用導數法求含參函數最（極）值怎樣分類討論.我們通過對一組問題的歸類研究，從各種復雜的分類中找出共同規律，提煉出有章可循的分類途徑和方法，從而構建用導數分類討論函數極值（最值）或單調性問題的解題思維模式結構圖.

一、解題思維模式形成

二、解題思維模式構建

三、解題思維模式應用

（1）討論f（x）的單調性；

（2）當0＜a＜3時，記f（x）在區間［0，1］的最大值為M，最小值為m，求M-m的取值范圍.

四、解題思維模式練習

1.已知函數f（x）＝（x-k）ex.

（1）求f（x）的單調區間；

（2）求f（x）在區間［0，1］上的最小值.

2.設a為實數，若函數f（x）＝（x-1）ex-ax2（x∈R）.求函數f（x）的極值.

3.設函數f（x）＝lnx-ax（a∈R）.若函數f（x）在［1，e2］上的最大值為1-ae，求實數a的值.

4.已知函數f（x）＝g（x）·h（x），其中函數g（x）＝ex，h（x）＝x2＋ax＋a.當0＜a＜2時，求函數f（x）在x ∈［-2a，a］上的最大值.

5.已知g（x）＝（-2ax＋1＋a）ex（a＜1），求g（x）在［0，1］上的最小值.

參考答案

1.（1）f（x）的單調遞減區間是（-∞，k-1）；單調遞增區間是（k-1，＋∞）.

（2）①當k≤1時，f（x）最小值為-k；

②當1＜k＜2時，f（x）最小值為-ek-1；

③當k≥2時，f（x）最小值為f（1）＝（1-k）e.

2.①a≤0時，f（x）有極小值-1，無極大值；

4.f（x）max＝f（a）＝（2a2＋a）ea.

5.①當a＝0時，g（x）min＝1；

②當a＜0時，g（x）min＝1＋a；