等差、等比數列的函數與方程視角

江蘇省張家港市常青藤實驗中學 錢思源 蔡依峰

玉兔子孫世代傳，棋盤麥塔上摩天.

壇壇罐罐求堆垛，步步為營算連環.

數列尋根屬函數，自成一格意盎然.

等差等比初學步，登堂入室看來年.

——出自湘教版普通高中課程標準實驗教科書（必修4）

在數列｛an｝中，對于每一個正整數n（或n∈｛1，2，3，…，k｝），都有一個數an與之對應，因此，數列可以看成以正整數集N*（或它的有限子集｛1，2，3，…，k｝）為定義域的函數an＝f（n）.“數列尋根屬函數”就直截了當地指出了數列的本質是函數.

等差數列、等比數列是我們高中階段研究的兩個最基本的數列，下面我們立足函數視角審視等差、等比數列，并給出一些應用.

一、等差數列

結論1若數列｛an｝是等差數列，則an＝An＋B（其中A，B 是常數）；反之，若數列｛an｝滿足an＝An＋B（其中A，B 是常數），則數列｛an｝是等差數列.

解由結論1可知，若數列｛an｝是等差數列，則an＝An＋B，A，B∈R，所以易知p＝3.

解數列｛an｝是等差數列，可設an＝An＋B，A，B∈R，

則am＋n＝A（m＋n）＋B＝-（m＋n）＋（m＋n）＝0.

結論2若數列｛an｝是等差數列，Sn是它的前n項和，則Sn＝An2＋Bn（其中A，B 是常數）；反之，若數列｛an｝的前n項和滿足Sn＝An2＋Bn（其中A，B 是常數），則數列｛an｝是等差數列.

證明若數列｛an｝是等差數列，則令即得Sn＝An2＋Bn；

反之，若數列｛an｝前n 項和滿足Sn＝An2＋Bn，當n＝1時，a1＝A＋B；當n≥2時，則 有an＝Sn-Sn-1＝（An2＋Bn）-［A（n-1）2＋B（n-1）］＝2An＋B-A，n＝1的情形也滿足n≥2的情況，則an＝2An＋B-A，an＋1-an＝2A，所以數列｛an｝是等差數列.

解由結論2可知，若數列｛an｝是等差數列，則Sn＝An2＋Bn（不含常數項的二次型），所以p＝0.

解等差數列｛an｝的前n項和為Sn，根據結論2，可設Sn＝An2＋Bn，A，B∈R，則則Sm＋n＝A（m＋n）2＋B（m＋n）＝

因為m≠n且m，n＞0（想一想，為什么），由基本不等式知

解等差數列｛an｝的前n項和為Sn，可設A，B∈R，而也是等差數列，則可設即An2＋Bn＝（dn＋c）2，

整理得（A-d2）n2＋（B-2cd）n-c2＝0，該式對于任意的正整數n均成立，

即d＝2a1.

解由｛an｝是等差數列，前n項和為Sn，可設Sn＝＝An2＋Bn，A，B∈R，

則有Sk2＝Ak4＋Bk2，（Sk）2＝A2k4＋2ABk3＋B2k2，即Ak4＋Bk2＝A2k4＋2ABk3＋B2k2，

整理得（A-A2）k4-2ABk3＋（BB2）k2＝0，該式對于任意的正整數k均成立，

所以滿足條件的數列｛an｝可能為an＝2n-1或an＝0或an＝1.

二、等比數列

結論3若數列｛an｝是等比數列，則an＝Aqn（其中A，q是非零常數）；反之，若數列｛an｝滿足an＝Aqn（其中A，q是非零常數），則數列｛an｝是等比數列.

解，由結論3可知，若數列｛an＋1-pan｝是等比數列，則an＝Aqn，A，q∈R且A，q≠0，所以p＝2或p＝3.

解數列｛an｝是等比數列，可設an＝Aqn，A，q∈R且A，q≠0，此時an＋1＝Aqn＋1，而｛an＋1｝也是等比數列，由結論3可知，q＝1（否則不可能為等比數列），故｛an｝是常數列，則Sn＝2n.

結論4若數列｛an｝是公比不為1的等比數列，Sn是它的前n 項和，則Sn＝A（qn-1）（其中A，q是非零常數）；反之，若數列｛an｝的前n項和滿足Sn＝A（qn-1）（其中A，q是非零常數，且q≠1），則數列｛an｝是等比數列.

證明若數列｛an｝是等比數列，則即得Sn＝A（qn-1）.

反之，若數列｛an｝前n 項和滿足Sn＝A（qn-1），

當n＝1時，a1＝A（q-1）；

當n≥2時，an＝Sn-Sn-1＝A（qn-1）-A（qn-1-1）＝Aqn-1（q-1），n＝1的情形也滿足n≥2的情況，

所以，an＝Aqn-1（q-1），因為q≠1，此時有所以數列｛an｝是等比數列.

解由結論4可知，若數列｛an｝是等比數列，則Sn＝A（qn-1）.

所以當A＋B＝0時，數列｛an｝是等比數列；當A＋B≠0時，數列｛an｝不是等比數列.

證明如下：

①當A＋B＝0時，Sn＝Aqn-A，

當n＝1時，a1＝A（q-1）；

當n≥2時，an＝Sn-Sn-1＝A（qn-1）-A（qn-1-1）＝Aqn-1（q-1），n＝1的情形也滿足n≥2的情況，

所以，an＝Aqn-1（q-1），因為q≠1，此時有所以數列｛an｝是等比數列；

②當A＋B≠0時，a1＝Aq＋B，a2＝S2-S1＝Aq2-Aq，a3＝Aq3-Aq2，若a1，a2，a3成等比數列，則a22＝a1·a3，即（Aq2-Aq）2＝（Aq＋B）·（Aq3-Aq2），整理得Aq-A＝Aq＋B，A＋B＝0，與題設矛盾，故a1，a2，a3不可能成等比數列，因此數列｛an｝不是等比數列.

我們在平時的數學學習過程中，不能以記住幾個數學公式、數學定理為最終目標，還應當關注公式、定理背后的數學思想和數學本質，不斷地形成學科的“Bigideas”.