盤點數列易錯點

江蘇省天一中學 孫承輝

數列是高中數學的重要知識模塊之一.同學們在解決數列問題時，可能會感到技巧性強、綜合度高以及易錯點多，尤其是易錯點，有時不知不覺就遭遇“陷阱”，而且還不容易發現錯在何處.下面就列舉一些不大容易發現的易錯點.

易錯點一：忽視數列與函數的差異

數列與函數的關系是：數列可以看成以正整數集N*（或它的有限子集｛1，2，…，k｝）為定義域的函數an＝f（n），當自變量按照從小到大的順序依次取值時，所對應的一列函數值.反過來，對于函數y＝f（x），如果f（i）（i＝1，2，3…）有意義，那么我們可以得到一個數列f（1），f（2），f（3），…，f（n），….

當我們利用這一關系處理數列的單調性問題時，要注意它與函數的單調性是有差異的.若函數y＝f（x）是增（減）函數，則其對應的數列｛f（n）｝是遞增（減）數列，但反之不一定成立.比如，如果數列｛an｝的通項公式那么數列｛an｝是遞增數列，但函數y＝在區間［1，＋∞）上不單調遞增.

錯解因為數列｛an｝是遞增數列，所以解得

錯因未能注意到數列與函數的區別，由于數列定義域的特殊性，其圖象在平面直角坐標系中是一群孤立的點，所以只需a1＜a2＜…＜a7＜a8＜…即可保證數列｛an｝是遞增數列.

正解由題意，

易錯點二：求等比數列前n項和時忽略q=1的情形

等比數列｛an｝的前n項和公式特別地，當q未知時，一定要注意分類討論.

錯解由S3＋S6＝2S9，得整理得2q6-q3-1＝0，所以q3＝1或-故q＝1或

錯因使用公式的前提是q≠1，若題目中沒有明確指出，則需要分類討論.

正解當q＝1時，由S3＋S6＝2S9得，3a1＋6a1＝2×9a1，即a1＝0，這與等比數列an≠0矛盾，故q≠1.

當q≠1時，由S3＋S6＝2S9，得整理得2q6-q3-1＝0.因為q≠1，所以

易錯點三：忽視n的取值范圍

根據Sn的表達式求通項公式，或者處理含有Sn和an的混合遞推式時，會用到公式需要注意的是，an＝Sn-Sn-1成立的前提是n≥2，所以處理這些問題時要格外關注n的取值范圍.

錯解因為Sn＝3an＋1，所以Sn-1＝3an，兩式相減得an＝3an＋1-3an，即所以數列｛an｝是首項為1，公比為的等比數列.因此

錯因條件中，遞推關系Sn＝3an＋1對任意n∈N*都成立，將n替換成n-1后得到Sn-1＝3an，該式中n的取值范圍是n≥2，所以，兩式相減得到的逆推式an＝3an＋1-3an中，n的取值范圍也是n≥2，也就意味著應對所有n≥2的正整數成立.

正解因為Sn＝3an＋1，n≥1，所以Sn-1＝3an，n≥2，兩式相減得an＝3an＋1-3an，n≥2，即由a1＝1，Sn＝3an＋1，得因此數列｛an｝從第二項起是公比為的等比數列.故

易錯點四：對遞推關系的理解有偏差

通項公式直接反映an和n之間的關系，即an是n的函數，而數列的遞推關系是任一項an與它的前一項an-1（或前幾項）（n≥2，n∈N*）之間的關系，并且這個關系可以用一個公式來表示，它是數列的間接表示.所以，正確理解遞推關系是確定數列各項的前提.

錯解由an＋1-an是關于x的方程x2＋（an＋1-2）x-2an＋1＝0的根，

可得（an＋1-an-2）（2an＋1-an）＝0，n∈N*，

所以，對一切的正整數n，an＋1＝an＋2或

因此，數列｛an｝是等差數列或等比數列，

錯因上述解答錯在對遞推關系“對一切的正整數n，an＋1＝an＋2或”的理解有誤，該遞推關系表明由an的值來確定an＋1的值時會產生兩種情況.

舉例來說，不考慮“n≥2時，4≤an≤8”這一限制條件，若a1＝4，那么當n＝1時，由“a2＝a1＋2或”可知，a2＝6或2；當n＝2時，由“a3＝a2＋2或”可知，a3＝8，3，4或1……

由此可見，此時數列｛an｝每一項的值并不是確定的，因此得不出“數列｛an｝是等差數列或等比數列”這一結論.

正解由an＋1-an是關于x的方程x2＋（an＋1-2）x-2an＋1＝0的根，

可得（an＋1-an-2）（2an＋1-an）＝0，n∈N*，

所以對一切的正整數n，an＋1＝an＋2或

若a1＝4，且n≥2時，4≤an≤8，

則數列｛an｝為：4，6，8，4，6，8，…

所以，數列｛an｝的前100項和S100＝33（4＋6＋8）＋4＝598.