從零的零次方無意義談起
——代“概念理解專欄”發刊詞

江蘇省吳江盛澤中學 孫四周

概念有四個要素，第一要素就是“意義”（另外的三個是：事例、特征、符號）.作為這個專欄的首篇，為什么不談“意義”而是談“無意義”呢？請往下看.

數學上印象最深的“無意義”，可能是小學時的“0做除數”，當時的說法是“0不能做除數”，后來又說成“0做分母無意義”.初中有了“負數開平方無意義”，高中又有了“00無意義”，等等.數學上許多東西都是人為規定的，為何還有那么多的無意義呢？為什么不給它們“規定”一個意義？

現在來看00，如果允許你去規定，你認為該規定它等于多少才算合適呢？如果注意到這個序列：

應該規定00＝1；

而對于這個序列：

似乎又該規定00＝0.

數學家們還發現了類似的其他序列，按照那些序列呈現出的“規律”性，00又似乎是另外的值！進一步的研究可以發現，對于任何一個正數，我們都可以找到這樣的序列，使得序列的“規律”指向它.如此一來，你認為該規定00等于哪個值呢？

所有的“規定”都是人為的，但人不可妄為.數學上，在有了必要性和可行性時，才會去進行人為的規定.即數學上的某個東西非常重要，“必須”有意義，否則就會有很多困擾；而它本身又沒有“現成的”意義，這時數學家就會嘗試去規定一個.這個“規定”自然要滿足兩點：一是要解決存在的困擾，二是不能引發新的矛盾.比如，“任何數乘以0都等于0”就是一個人為規定，它解決了乘法運算的很多問題又不引起矛盾.如果你規定“任何數乘以0都等于這個數”，那就會引起矛盾，因而不能采納.

00 的意義，需要規定嗎？好像是的，在心理上我們總希望自己看到的東西是有意義的.那么，可以規定00的意義嗎？現在還沒有找到規定它的方法，也就是：規定它等于任何一個實數都會導致矛盾.如此，只好不做規定.也就是認為00無意義.你是不是感到很遺憾？沒必要，“00無意義”就是它的意義.

人類總是在尋找世界（和人生）的意義，也總希望自己感受到的東西、經歷過的事件是實在的.如果你突然發現，面前站著的人是“虛幻”的，那個感覺可不美妙.在邏輯上證明某個東西“不可能有意義”，比認定一個東西“有意義”要困難得多.因此，對數學上“無意義”的東西我們會有深刻的記憶，深刻程度超過眾多“有意義”的東西.

我們今天在這里談“無意義”，希望大家注意以下兩點：

第一，“無意義”和“有意義”是相對的，無意義可以發展為有意義，有意義也可能變得無意義.比如：7除以3無意義（除不盡）、小數減大數無意義（不夠減）、大于180°的角無意義（不存在）等，現在它們都變成了有意義.還有很多的無意義，比如：負面積、負數開平方、負數的對數等，在以后也會變得有意義.每一次把無意義轉化為有意義，都是認識上的巨大突破.

第二，某些看似天然“有意義”的概念被質疑，即被懷疑為“無意義”，會促進人們的思考，突破眼界的局限，進入新的認知領域.

比如“線段長度”，意義似乎非常清楚，只要是認識數碼的人就會利用刻度尺把一個長度量出來，似乎沒什么好研究的.而實際上，“尺子量出來”的那個數據是很表象化的東西，知道它“能不能度量”才是深刻的.由此前沿的思想家們考察了曲線的長度、不連續數集的長度、海岸線長度等，發展出了微積分學、勒貝格測度、分形理論等彪炳史冊的偉大理論.即便現在，對于空間、時間等基本概念，人類還沒有認識清楚，這已經是科學的最前沿了.

概念，是邏輯思維的結果，也是思維過程的凝結，還是繼續思維的載體.人類的靈性，就體現在對抽象概念的理解和應用上.這，也是我們開設“概念理解”專欄的意義.我們會把更多的意義揭示出來，以饗讀者，也讓我們的學習充滿意義.