數(shù)學(xué)文化原創(chuàng)題（一）

沙國(guó)祥

埃舍爾是荷蘭著名版畫(huà)家，他的大量作品充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)和想象之美，被譽(yù)為“畫(huà)家中的數(shù)學(xué)家”.

（1）圖1是埃舍爾創(chuàng)作的一幅作品，他將一個(gè)正方體四個(gè)面的對(duì)角線連成一個(gè)空間四邊形（記為四邊形ABCD），則這個(gè)四邊形兩條鄰邊AB和AD 之間的夾角是_______.（度數(shù)在0°到180°之間）

圖1

圖2

（2）正多面體是一類(lèi)非常對(duì)稱美觀的空間圖形，它的每個(gè)面都是正多邊形，且每個(gè)頂點(diǎn)伸出的邊數(shù)同樣多.正多面體只有五種：正四面體、正六面體（即正方體）、正八面體、正十二面體和正二十面體，如圖2.

正多面體常出現(xiàn)在埃舍爾的作品中，如圖3所示的這幅作品是由正方體和正八面體互相交錯(cuò)而成的，正八面體的12條邊正好穿過(guò)正方體的12條邊的中點(diǎn)，則該正八面體隱含在正方體中的部分的體積占整個(gè)正八面體體積的______________.

圖3

參考答案：（1）60°； （2）

提示：

（2）圖4為一個(gè)正八面體，正八面體可以看成是由兩個(gè)大正四棱錐拼合而得，6個(gè)頂點(diǎn)處切割掉6個(gè)小正四棱錐，每個(gè)小正四棱錐的棱長(zhǎng)都是每個(gè)大正四棱錐的棱長(zhǎng)的一半，因此割掉部分的總體積是每個(gè)大正四棱錐體積的即原正八面體體積的

正八面體的每個(gè)頂點(diǎn)處都切去一個(gè)正四棱錐以后，得到一個(gè)阿基米德體（如圖5）.這個(gè)阿基米德體其實(shí)就是題中的正八面體隱含在正方體中的部分.

圖4

圖5