從高考題到阿基米德體

文／沙國祥

圖／張志勇

（2019年全國Ⅱ卷第16題）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有____個面，其棱長為____.

圖1

圖2

本題第二空難度較大.題中出現(xiàn)了一種特殊多面體——“半正多面體”，對于它的結(jié)構(gòu)描述“它的所有頂點都在同一個正方體的表面上”，很多同學(xué)覺得難以理解和想象，因而無法順利作答.

事實上，這種“半正多面體”就是所謂的“阿基米德體”.這類多面體是由正多面體切割而得，各面上出現(xiàn)的多邊形是兩種或兩種以上的正多邊形，每個頂點處都由相同種類和順序的正多邊形圍成.如圖2，此阿基米德體的每個頂點都是由一個正三角形、三個正方形圍成，自然，它們的邊長都相等啦！這個阿基米德體是由一個正方體（我們稱之為“原初正方體”）切割而得.

但因為原初正方體未出現(xiàn)，因而不易想象切割后的阿基米德體與原正方體的關(guān)系.

同學(xué)們可以發(fā)揮想象力求解：

如圖3，考慮到對稱性，八邊形ABCDEFGH是正八邊形，其八個頂點位于同一平面上.想象一下，此正八邊形的上面兩個頂點A，H位于原初正方體的上表面，下面兩個頂點D，E 位于原初正方體的下表面.畫出平面直觀圖，如圖4：

圖3

圖4

分別延長上下、左右的相對兩條邊，得到一個正方形，這個正方形其實是原初正方體的一個平行于一個表面的截面，其邊長正是正方體的棱長1.

設(shè)正八面體的邊長為x，根據(jù)圖4，從正方形的邊長為1可得方程

此即“半正多面體”的棱長.

只是做完這道高考題，還不能壓住我們心頭的好奇和疑問：那個“原初正方體”在哪兒？怎樣由這個原初正方體切割成高考題中的阿基米德體？阿基米德體我們以前見過嗎？一共有多少種？下次還會考嗎？

我們知道，一個正方體由六個面組成，分成三組，每組中兩個面互相平行.大家仔細觀察一下圖2，這個阿基米德體的上下、左右、前后三組，共六個小正方形（或者水平，或者豎直），正位于原初正方體的相應(yīng)六個面上，它們并沒有被切割掉啊！展開你想象的翅膀，依據(jù)這六個小正方形就可以作出所在六個平面，復(fù)原“原初正方體”（如圖5，查看動畫請掃描文末的二維碼）.這樣就更容易理解上述解法了.你甚至可以通過延長小正方形的邊作出原初正方體的棱.再看圖6，這是另一種觀察視角.

圖5

圖6

阿基米德體非常罕見嗎？高考命題者就是要找些稀奇古怪的玩意兒“捉弄考生”？其實，阿基米德體我們?nèi)巳硕家娺^，最常見的足球“電視之星”（如圖7），就是由一個阿基米德體充氣后膨脹而成的.這個阿基米德體，是在一個“原初正二十面體”的12個頂點處切割掉12個小五棱錐得到的（如圖8）.因此，一個常見的足球上，就有12個五邊形，20個六邊形.

圖7

圖8

高考題中的阿基米德體你可能沒見過，但它的兄弟就活躍在足球場上，你留心過嗎？研究過它的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)嗎？如果由此及彼，再追問：這種足球是哪類立體圖形？同類圖形還有哪些？那你不就接近甚至發(fā)現(xiàn)高考題了嗎？

最后告訴你，阿基米德體一共有13種（具體可參考《數(shù)學(xué)文化素質(zhì)教育資源庫》中的《數(shù)學(xué)之美》分冊）.它會不會以后再考？很難說，可能會以另一種形式考也未可知.所以，學(xué)習(xí)不必太顧眼前，風(fēng)物長宜放眼量，你關(guān)注數(shù)學(xué)文化，了解數(shù)學(xué)問題、方法的歷史背景、來龍去脈，說不定哪天就碰上高考題了.