○ 周天星

簫、笛類樂器，其吹口、側孔直徑一般小于管徑。當吹口、側孔小于管徑時，阻礙了氣流的溢出，使得波長變長，所以吹口處存在的角度、氣息的調整（下文稱“吹口校正”）以及側孔與管徑比例的變化形成的校正量（下文稱“側孔校正”）都屬于變量，并非固定規律。

而律管在吹奏時，依靠整個管長發音，且吹口處不應存在主觀因素形成的校正量，故其“管口校正”主要指管長比發音與弦長比之間的誤差。這種“管口校正”量誤差乃是管上發音的自然物理屬性。故律管上“管口校正”與笛上“吹口校正”和“側孔校正”既不屬于同一概念，也不對應相同外延。

目前，學界關于笛律校正量的研究主要集中于晉代“荀勖泰始笛律”，如陳正生《泰始笛復制研究》、王子初《荀勖笛律研究》等系列研究文章及著作。其中在王子初《荀勖笛律研究》一書中，對清代凌廷堪、徐養源、胡彥升等學者以及近代楊蔭瀏、黃翔鵬以及日本林謙三等關于荀勖笛律的研究作了全面客觀綜述，指出上述學者的錯誤，并肯定其中值得借鑒之處。

在研究荀勖笛律時，王子初先生將荀勖宮孔的定位方式命名為“側孔校正”，而將朱載堉開管律管上存在的“管口校正”稱為“端口校正”以示區別。另陳正生先生也注意到笛類樂器“吹口校正”量的問題，同樣將其與“管口校正”問題區別開來。二者對本文的研究產生了較大啟發。

然而遺憾的是，一些學者在研究“荀勖笛”或朱載堉“律管”時，仍將二者當作同一概念來論述。其表現是，學界部分學者繼續沿襲使用舊工具書中“管口校正”概念來討論笛類樂器“側孔位置”的確定，或者相反，以笛上“側孔校正”的經驗值當作律管的普適規律來研究律管發音。

基于上述問題，本文擬從學理層面對簫笛類樂器上之各類校正量進行研究分析，旨在厘清簫笛類“校正量”與律管“管口校正”量之間的區別，并揭示荀勖笛“側孔矯正”運用之規律。

一、律管與簫笛類樂器吹奏、發音方式區別及其“管口校正”

（一）律管與簫笛類樂器吹奏方法的區別

1.律管的吹奏方法

下圖A、B為律管吹奏法。經筆者反復實驗，只有將下嘴唇放在管壁后方，且氣流方向接近水平（假設律管垂直于地心）時，口唇對氣柱的影響才會降至最小，律管方能按其自身管長比例所對應的物理頻率發音。本文將這種口型定義為“后置平吹”式口型，而這種口型對于實際簫笛樂器來說，相當于“仰吹”（見圖1）。

圖1 律管吹奏方式①文中圖片，凡未表明出處者，皆為本文作者制作。另本文之研究數據均基于真實實驗得出。

律管發音時，隨著管身逐漸變短，其固有物理頻率也隨之越來越高，需要更強的氣流來激發，因此長短不同的律管在吹奏時不能使用固定不變的氣流強度。

為驗證“后置平吹”口型的效果，筆者制作了律管數枚。其中黃鐘律管長度數據，則按照正倉院所藏唐代尺八②鄭榮達：《正倉院尺八的初探——正倉院樂器研究之一》，《音樂藝術》，2008年，第3期，第101頁。之一半（43.7厘米÷2）21.85厘米，取整數21.9厘米，半黃鐘為10.95厘米，制作材質為黃銅（直徑8毫米）。作為實驗參照，同時為了驗證內壁光滑度、管徑大小等因素帶來的影響，另制作了鋁合金正黃與半黃（直徑10毫米）（見圖2）。

圖2 “后置平吹”實驗律管

經實驗，律管以閉管吹奏，黃鐘管所需氣流較小。但半黃鐘在氣流方向保持不變的情況下，氣流需要加強至少一倍才能吹出高八度，與笛類樂器的八度超吹類似：即更高的頻率需要更強的氣流激發。因此，不能把因氣流強度不夠造成的律管發音頻率偏低（屬于吹口校正范疇）歸到管長比例變化形成的管口校正量上來。故本文認為，以正確的姿勢和方法閉管吹奏律管，三分損益是可以在律管上實現的。

需要注意的是，鋁合金律管內壁比較光滑明亮，而銅律內壁則氧化發黑。鋁管直徑雖然大于銅管，但在實驗測音時，其發音甚至稍微高于銅管。說明內壁光滑程度帶來的影響大于管徑變化形成的影響。

當然，管發音受到管長的限制，不會隨著氣流的增強無限升高。當頻率達到管長的限值時（即飽和值），氣流的增強只可能會吹出破音或激發泛音。律管吹奏時，其“飽和值”（或近似值）才是符合物理規律的頻率。而非飽和值卻非固定值，因此，在達到飽和值以前，不同的氣流強度會形成不同的音高，這些變化的高度并不符合管長比變化所對應的物理發音規律。

另外開管的“管口校正”量要大于閉管發音，故其“半黃”發音在達到飽和值時，仍偏低于“正黃”高八度③關于律管之“閉管”“開管”發音研究，筆者另有文章詳述，故此處不展開。。

2.簫笛類樂器的吹奏方法

下圖C、D兩種方法，則為簫笛或塤類樂器的真實吹奏法。由于口唇前俯，并對吹口管徑形成了一定程度的遮掩，或者在簫笛上直接做成小于管徑的開孔，因此其實際吹口直徑遠小于管徑。

吹奏時，吹入氣流與溢出氣流同時出現在一個較小的孔內，其對管內空氣柱影響較大，因而造成頻率的下降，其原理見圖3：

圖3 簫吹口遮掩示意圖

在圖3中，C為閉管吹奏，由于一端已經是閉管的形式，吹口端遮蓋到一定值時，發音飽滿，而遮蓋越多，發音越低。若進一步遮蓋管端，還可發出更低的音，但已經啞而枯澀，發音勉強。主要是因為吹口不但要進入氣流，同時還要溢出氣流，沒有其他泄壓途徑。圖D吹奏方式實際為笛類開管樂器的吹奏狀態。吹口遮掩原理對音高的影響分析圖如下（圖4）：

圖4 簫類樂器吹口處的遮掩比例示意圖

由于吹口并不能無限小，一般最小在0.72平方厘米。小于該值，則吹氣太弱發音勉強，音色達不到音樂要求。太小的吹孔用于調整（降低）個別音高是可以的，用以整個音階則會失去樂器的音色。

經實驗，隨著遮掩面積的增加，音高逐漸降低。管越短，管徑越大，則改變越大；管越長，管徑越小，則改變越小。導致音高改變的主要因素是遮掩式吹奏造成的。所以吹口端對管頻率的影響，與管長成反比，與直徑成正比。

演奏中改變吹奏角度調整音高，實際上改變的是吹口的大小，若同時輔以氣流強度的變化，這種頻率改變將進一步增大。

為了檢驗“吹口校正”在笛上對音高的實際調整作用，筆者對昆曲笛作了測音④采用鋼琴調律軟件TuneLab Pro測音。該軟件是美國Real-Time Specialties公司開發的一款電腦鋼琴調律軟件。公司產品介紹網址：http://www.tunelab-world.com/實驗。實驗將口形分為三種，即“平吹”“仰吹”“俯吹”三種，而后兩種又各分成兩個角度值。即取“俯吹”和“仰吹”最大值，用“-2”和“2”表示參照，再取二者與平吹的中間“-1”和“1”值作為參照。（此處僅為方便對比數據之目的而選取的實驗采樣角度，實際演奏可以無限微小變化）（見圖5）。

圖5 昆曲笛吹口校正測音數據示意圖

注意在圖5中，笛類樂器所謂“平吹”“仰吹”，實際上已經帶有一定的俯角，而“平吹”角度恰好處在俯仰的中間位置，故其所謂“平吹”，與上文律管的“平吹”，完全不是同一外延。

“仰吹”，實際上等于減小了所謂“平吹”時的遮掩角度，故頻率變高，而在“平吹”基礎上進一步改為“俯吹”，實際上等于增大了遮掩面積，因此音高下降。

圖5中的測試數據為約數。實驗發現，越是高音孔（相當于管身較短的管），對吹口校正的敏感度越高，校正量越大。而低音孔（相當于管身較長的管）則相反。

（二）“管口校正”概念辨析

作為發音管，影響其音高的因素應該按照外因與內因分開討論。所謂外因，指由于管身以外的因素，如吹口角度、氣流大小，吹孔或側孔大小與管徑比例變化導致的音高的變化。外因乃是一種變量，不可作為固定規律來應用。

而所謂內因，乃是管長比例與發音頻率之間固有的物理關系。如同物體的重力加速度，質量和重力乃是內因，而空氣阻力雖然對加速度有影響，卻是外因。

外因與內因都可能導致音高的變化，通過校正管長（或孔距）達到理論音高。二者在表象上極為相似，但在本質上是截然不同的。因此，應將二者獨立開來分開解釋。通常，影響管發音頻率的因素有下列幾種（見圖6）：

圖6 管口校正量“內因”“外因”比較

1.吹口校正

由于吹口一般小于管徑，其校正值通常為負。這是學界公認的一種笛類樂器改變音高的方式。吹口校正有兩種手段，一是改變風門角度，二是改變氣流強度。

在研究管律時，應將吹口校正歸于外因，不宜將其帶來的變量混同于管律自身的固有物理規律（見圖6吹口校正解釋）。在笛上如果吹孔變大，相當于校正量減少，故而音升高，孔減小則反之。

由于實際樂器開管演奏時，必然用嘴遮住管子大部分管口或用側孔吹奏，故吹口端的氣流外溢被大部分阻斷，有效振動空氣柱被延長。

陳正生先生在論述均孔笛演奏時注意到二者的區別：“當一支笛子制成以后，其末端校正量是相對穩定的，只是在演奏過程中由于演奏方法的差異，會導致管端校正量的變化，演奏過程中，有意識地改變管端校正量，從而造成各音孔之間的相對音高（音程）的變化和絕對音高的改變，以達到轉全七調之目的。”⑤陳正生：《“七平均律”瑣談—兼及舊式均孔笛制作與轉調》，《星海音樂學院學報》，2001年，第2期，第28頁。

注意其“末端校正”量，指的是狹義“管口校正”量，即管身長度與對應頻率的物理關系，屬于內因，故陳先生強調其是“相對穩定的”。而“管端校正”量顯然對應的是本文“吹口校正”概念，指的是風門角度、氣息的變化形成的影響，可以按照人的意志進行改變，屬于外因。即“造成各音孔之間的相對音高（音程）的變化和絕對音高的改變”之因素。

陳先生實際上已經將“吹口校正”與“管口校正”兩個概念區別開來。

2.“側孔校正”原理分析

笛類樂器側孔小于管徑，其與管徑比例發生的變化必然影響氣柱的長度，從而導致孔距的變化調整。因此其本身同樣并非管律固有規律，如荀勖之笛側孔宮音的確定。

對于這種孔距的定位，王子初先生將其稱為“側孔校正”，并對朱、荀二人的實踐進行了界定：“顯然，荀勖的這種校正只是用于六個側音孔的校正，即側孔校正。他對于全笛之長，仍以四倍角律之長為準，未作任何校正。他與德國的赫爾姆霍茲、瑞利、比利時的馬容所提的管口校正計算公式，以及我國明代發明十二平均律數學原理的朱載堉提出的異徑管律理論，均為風牛馬不相及的兩碼事。”⑥王子初：《荀勖笛律研究》，北京：人民音樂出版社，1995年，第44頁。在其著作中，“管口校正”則稱為“端口校正”，而“管口校正”專指“側孔校正”。

王子初先生首次提出了更準確的概念，將“側孔校正”與狹義“管口校正”概念區別開。

陳正生先生其實也曾發出疑義：“筆者還認為，‘荀勖笛律’的宮角之差，根本就不該稱作‘荀勖笛律’的管口校正，恐怕這一認識就更是異端了。”⑦陳正生：《康熙十四律乃徐壽律管試驗之濫觴—與戴念祖先生商榷》，《黃鐘》，1995年，第1期，第36頁。可見對于工具書中“管口校正”概念的質疑，早在學界顯出端倪。王子初、陳正生二人，實際上已經否定了“荀勖笛律”（孔距的調整）屬于狹義“管口校正”（管長校正）的觀點，從而與朱氏異徑管律“管口校正”區別開來。

由于早期的學者多將荀勖笛“宮孔位置的確定”定義為“管口校正”（或其他類似名稱），如楊蔭瀏先生：“這樣的笛制管口校正規律，已經是不簡單了。”⑧楊蔭瀏：《中國古代音樂史稿》，北京：人民音樂出版社，1981年，第168頁。而工具書如《中國音樂詞典》中的解釋也都延續了楊先生的觀點，并在學界形成深刻廣泛的影響。

一般而言，笛類樂器管徑變化，或者側孔與吹口大小變化，都會導致二者比例改變。為了保持某種固定發音高度，故需要對原來的孔距或管長作修正。而這些校正量都是外因所形成的變量，具有不確定因素，因此并非普適性規律。側孔校正原理，如圖7：

圖7 側孔管長與相等筒音管長發音比較示意圖

在圖7中，假設甲乙兩笛管徑相同、吹口校正量相同，且甲管上的A（側孔算起，假設管壁厚度為零）B兩段管長相同。但是甲笛以側孔發音，側孔明顯小于管徑，對氣流、空氣柱形成干擾，所以甲笛側孔A發音低于乙笛筒音B。故而不能以側孔距離當作實際筒音來衡量音高的變化。

上圖二管，若要A笛側孔發音等于B管筒音，則側孔管長必須要縮短一定距離，方得與B管發音相同（見圖8）：

圖8 側孔縮進校正示意圖

此處并不能判斷縮進量的大小，因為側孔越小，縮進量越大；側孔越大，縮進量越小。側孔與管徑的比例（下文簡稱“孔徑比”）不同，縮進量也不同，故其乃是一種變量。荀勖笛宮音的確定原理正是如此（外因），所謂宮律加角律乃是一種側孔與管徑特定比例下的經驗值，若其“孔徑比”發生改變，則其宮音位置確定的孔距也就變了，非管身固有規律。故而，笛上側孔發音高度，都對應比孔距更長一些的實際管長發音。

王子初先生認識到側孔發音與筒音發音性質的區別，且在論述簫笛類筒音發音時，也認識到開孔處發音管長不等于截斷處的發音，但卻將側孔發音低于截斷處發音的原因歸于側孔以下的“附管”長度：

帶附管的側孔，與不帶附管的側孔的端口，發音方式是不同的。截去附管，側孔發音變為端口發音，故側孔發音時應作的管口校正音分數，可視為端口校正音分數與附管之影響（附管校正音分數）之和。即：

側孔校正音分數=端口校正音分數+附管校正音分數。⑨王子初：《荀勖笛律研究》，北京：人民音樂出版社，1995年，第42頁。

注意，其“端口校正”指的是一般意義上的“管口校正”，即筒音自身的校正系數。從表像上看來，側孔以下的管越長，確實會進一步降低側孔發音，但這個附管的長度影響只是次要原因。

實際上，當側孔直徑足夠大，例如大到與管徑相同（某種程度相當于截斷）或更大時，即使側孔以下的管長部分變長，側孔頻率仍會增加。因此，影響側孔發音高度的本質原因，乃是其孔徑大小。

基于上述分析，本文并不認同王子初先生將“側孔校正”影響歸于“附管”長度的觀點。

如圖9所示：

圖9 側孔發音實際管長示意圖

圖中，1和2表示“在視覺上”長度相同的側孔與筒音，且側孔直徑等于管徑，但實際上側孔的有效管長仍大于筒音。直觀的差別是，側孔的下緣要低于截斷處的筒音位置。

如3和4所示，因為在側孔直徑與管徑相同情況下，與相同長度的筒音相比，由于側孔改為垂直于管身發音，相當于轉了一個角，延長了一個“轉角中心線”，故其有效管長仍然大于截斷處的長度（當然管壁厚度也是一個微小長度）。

這種彎曲的管身多見于西洋銅管樂，彎曲處的長度應按中心線算。在笛上，每一個側孔都相當于一個假想的彎曲短管。況且側孔小于管徑，則又相當于管口縮小的彎曲管子，其對氣流的阻礙再一次延長了氣柱，故側孔發音規律完全不同于筒音，且與“附管”無直接關聯。

3.管內壁光滑度與氣柱振動產生的磨擦粘滯

本文實驗的是兩根長度相同內徑不同的管子。一根是10毫米內徑鋁合金管，內壁幾乎呈現半鏡面光滑狀態，而另一根是內徑8毫米的銅管，內壁氧化發黑，光滑程度不如鋁合金管。在閉管狀態下測試頻率顯示，10毫米直徑鋁合金管子發音反而略高于長度相同的8毫米內徑銅管10音分左右（見圖2）。

管內壁越光滑，管內氣柱振動時與管壁摩擦產生的粘滯系數就越小，反之越大，并非固定系數。因此其同樣屬于一種外因，不能作為一種物理常量。

4.狹義的“管口校正”

從內因的角度來說，“管口校正”僅僅指管長比例變化所對應頻率的變化，屬于固有物理規律，并不包含吹口、側孔等變化因素帶來的管長校正量。外因引起的變化均屬于表象，而表象是千變萬化的。但實際上，學界對上述內外因并無作明確區分。

如繆天瑞先生主編的《中國音樂詞典》中這樣解釋“管口校正”：“所謂管口校正，即在管內氣柱長度之外，補充以各種溢出管口外的氣柱長度，以校正誤差。晉代曾出現實際運用管口校正原理的荀勖笛律（荀勖以黃鐘律管長度與姑洗律管長度之差作為黃鐘笛的管口校正數）；明代又出現朱載堉保留管長度而另辟途徑的解決管口校正問題的異徑管律。”⑩繆天瑞：《中國音樂詞典》，北京：人民音樂出版社，1985年，第128頁。

“補充以各種溢出管口外的氣柱長度，以校正誤差”，“各種”一詞，表示導致溢出管外的氣柱長度的原因，并非一種。“荀勖以黃鐘律管長度與姑洗律管長度之差作為黃鐘笛的管口校正數”一語顯然是一種誤解，因為荀勖宮孔位置的確定（屬于側孔，其位置隨著孔徑比的變化而變化）顯然不屬于狹義的“管口校正”。

在繆天瑞先生主編的另一本《音樂百科詞典》中，有類似的解釋：“對發音管的長度作一定調整，使其發出指定的音高。關鍵就在于找出氣柱長度和管長之間的差數，……已知差數與管形、管徑、管壁厚度及吹孔等多方面因素有關。……下舉一條校正公式適用于內壁光滑、無指孔的圓柱形管。……中國古代曾有人提出管口校正公式見（荀勖、朱載堉）。”?繆天瑞：《音樂百科詞典》，北京：人民音樂出版社，1998年，第221頁。

注意：“下舉一條校正公式適用于內壁光滑、無指孔的圓柱形管……”一語顯然將筒音發音與側孔發音區別開來。同時強調“內壁光滑”，實際上是將摩擦粘滯作為外因排除在公式之外的（如同重力加速度公式，并不包含空氣阻力）。

但兩本詞典最終將吹孔、側孔以及管長等因素混在一起解釋，并將荀、朱二人之實踐皆認作“管口校正”。另繆先生在其《律學》一書中也強調：“荀勖當時能造出這樣精確程度的樂器，又能得出管口校正的數據和規律是對律學的一大貢獻。”?繆天瑞：《律學》，北京：人民音樂出版社，1996年，第132頁。

又如2014年由中央音樂學院《音樂百科全書》編委會編寫的《音樂百科全書》中，有著類似的解釋：“……例如西晉荀勖用正律黃鐘加姑洗的律長來制定倍黃鐘管……例如明代朱載堉的十二律管……”?《音樂百科全書》，北京：中國大百科全書出版社，2014年，第798頁。該詞典同樣將荀、朱二人之實踐等同。

可見詞典，乃至學界對于“管口校正”乃是一個籠而統之的定義，既包含了內因，又包含了外因，屬于廣義的概念，其解釋仍停留在現象層面。

將笛類樂器“側孔與管徑比值的變化”和“吹口校正”引起的孔距或管長的改變，與管上發音固有的“管長比”與“頻率比”不一致形成的“管口校正”當作同一原理來解釋，實際上正是混淆了表象與本質的區別。

5.穿繩孔代替實際管長的原理分析

穿繩孔實際上屬于“側孔”性質，數量往往為兩個（其下方一般還有兩個，為便于理解，此處忽略），故而其相對于單個側孔，負校正量有所減少，但其屬性并未改變。

當使用穿繩孔（通常為兩個）替代實際管長作筒音時，由于其直徑遠小于管徑，故而在等長時，穿繩孔發音低于實際管長發音。故穿繩孔代替實際管長后，管長仍需要向吹口端縮進。（圖10）

圖10 穿繩孔與實際管長比較

甲笛為實際管長，乙笛為穿繩孔管長。穿繩孔雖然一般為二孔形式，但其總面積仍小于管徑，故其孔距仍須縮進。若穿繩孔只有一個，且與側孔直徑相同，則孔距無需縮進或延長（暫不考慮其他因素）。相對于筒音（實際管長）來說，側孔的整體位置都向吹口端縮進，故而A值大于B值。二者之間的差數，在視覺上仿佛是一種延長校正。實際上，這只是認識角度產生的一種錯覺。也就是說，穿繩孔看起來像是延長了原來的側孔比例（孔距B，變為A1），但實際上，其本質則是側孔對實際筒音的縮進（A1小于A）。

或者說，穿繩孔下方附管長度的存在，恰恰是側孔校正后的一個結果，再次將附管作為校正量就沒有必要了。

基于上述分析，笛類樂器所謂筒音的“管口校正”，主要是因為其側孔之間的音程比例雖然一致，但側孔卻與管徑大小不一致造成的。因為在側孔轉變為筒音時，發音孔從側孔變為管徑，相當于發音孔直徑突然增大了，故而產生了不一致。為了保持音程的一致性，笛類樂器管長最后需要在原來的孔距基礎上增加一定管長，修正突然增大的發音孔（管徑）帶來的頻率升高。但實際上，筒音的高度都是固定的，與其說是筒音延長了側孔之間的比例，不如說是側孔向吹口縮進（側孔矯正）形成的校正結果。故而，圖10中的現象在本質上來說，屬于“側孔校正”引起的縮進。

顯而易見，荀勖之笛側孔的確定，本質上屬于“吹口校正”“側孔校正”范疇，而朱氏管律之校正量則是管長比與頻率變化的固有對應物理關系，即狹義“管口校正”問題，不受主觀因素變化。盡管二者在表象上都導致側孔距離或管長的變化（校正），有一定相似之處，但在本質上卻風牛馬不相及。

二、“荀勖笛律”側孔校正規律之分析

（一）笛上發音的各種“校正量”對發音影響的分析

除了“吹口校正”“側孔校正”兩種表面上的影響因素，壁厚對于笛類側孔式發音樂器來說，相當于延長了開孔處的實際管長。如趙松庭先生認為壁厚相當于延長了側孔的孔距：“小孔的作用，相當于長度為……的笛管。”?趙松庭：《笛藝春秋》，杭州：浙江人民出版社，1985年，第34頁。其原理見圖11：

圖11 笛類樂器“吹口負校正”“側孔負校正”示意圖

上圖中，b表示管壁厚度帶來的管長的增加形成的負校正，d表示管的直徑。由于吹孔和側孔小于管徑形成的負校正，實際導致管長氣柱溢出的長度增加。二者恢復至管徑原直徑大小（用d1表示）時溢出的長度用字母J表示（相當于溢出的氣柱長度）。氣流強度越大，d1恢復原直徑大小所需要的長度J就越小。

側孔與吹口之間的距離，即管長，用L表示。故而，當L發聲振動，實際上兩端都要算上b、J帶來的負校正（氣柱溢出管長增加）。注意，兩側管長校正量并非相等，常根據調整需要各有長短變化（如均孔笛變調）。

當溢出氣流從吹孔或側孔向外擴散恢復至管徑大小，需要一定的長度，為了便于理解，用J表示，相當于增加了管長，形成“負校正”（吹入的氣流越強，溢出氣流的喇叭口越大，J就越短，反之J越長）。

另外，吹奏時，氣流主要從吹口和發音孔溢出，但仍有一小部分氣流從發音孔下方的相鄰側孔溢出，并隨著側孔數目和距離的增加逐漸減少。即開放相鄰孔，相當于增加了d2、d3直徑。也就是說，發音孔以下的相鄰孔的開放與否，對發音孔的頻率也有一定影響，而不是側孔之間的間隔（附管）影響了側孔發音。如果附管下方的側孔直徑變大，即使“附管”長度不變，發音也會變高。

相鄰孔氣流的溢出相當于增加了發音孔的直徑，因此減少了負校正量J的長度。在高音孔，若按住幾個下方相鄰孔（交叉指法），相當于減小了發音孔的總直徑，則高音發音孔的音高就會明顯降低。越靠近吹口端（高音區），交叉指法引起的頻率下降值越大，反之，交叉指法的作用越來越小。

故實際管長，相當于開孔管長L1加上兩側的壁厚2b，再加上由于吹孔與發音孔小于管徑形成的兩個負校正量J，形成L2。

無論吹口的溢出變量J，還是側孔溢出變量J，都不是固定的。前者靠氣流大小、角度變化來調整，后者除了受氣流大小影響之外，主要受相鄰側孔開放與否的影響。

由上述分析可知，依靠側孔發音的簫笛類樂器，其發音孔的音高，乃是一種多種變量因素參與的結果，而非依靠簡單的孔距比例來求得。幾種變量相互制約，相互影響，這種特點恰恰是笛類樂器控制音高變化的有利因素。

（二）“荀勖笛律”與“管口校正”關系分析

1.荀勖笛與“9∶4”并無內在聯系

若將荀勖笛之夷則笛筒音三尺六（開管實際發音倍黃，有誤差）與黃鐘笛黃鐘宮音孔距（黃鐘加姑洗為1.611尺）相比，其值約等于9∶4，即：

3.6∶1.611≈9∶4

于是一些學者將其誤認作律管“管口校正”的校正數來源：“因此，筆者認為，荀勖是基于倍半相生管長之比的9∶4的同徑思維……制十二笛的。”并將其與“康熙十四律”正黃與半黃之間的比例9∶4聯系起來：“在《律呂正義》下編《和聲定樂》卷一……其中隱伏著康熙皇帝及《律呂正義》的編撰者們對荀勖的同徑9∶4理論的學習和應用。”?胡企平：《中國傳統管律文化通論》，上海：上海音樂出版社，2003年，第314，318頁。

因為側孔發音（相當于負校正）都對應更長的實際管長（見圖9、圖11，側孔校正示意圖），笛上側孔發音不等于其截斷長度筒音的發音，故黃鐘加姑洗若作為真正筒音發音，并不能發出黃鐘之音。

將荀勖笛規律認作9∶4的觀點，顯然混淆了“側孔校正”（孔徑比引起的孔距校正）與“管口校正”（弦長比引起的管長校正，具有質的規定性）的區別，并將兩種性質完全不同的長度進行比較，在邏輯上違反了同一律的要求?“側孔”距離之長度，與“筒音”管長屬于完全不同的性質的長度，在概念上二者不具備可比性。。

而這種比值邏輯事實上屬于悖論。假設其邏輯成立，則管上“正黃”與“半黃”八度管長比應為9∶4。將其進行推演，可得如下結論（見圖12）。

圖12 倍半相生同徑管長之比9∶4悖論推演示意圖

如上圖，若按9∶4繼續推演，則同徑黃鐘之倍應為2.25尺，而非18寸（尺八）。若按此比例繼續推其倍律，則開管倍黃應為4.55625尺，而非3.6尺，所謂3.6∶1.611≈9∶4比例也就不存在了。

而若認定3.6∶1.611≈9∶4存在，按此比例反推，1.611∶0.716≈9∶4，則黃鐘不足8寸，已經變為姑洗的長度。若黃鐘9寸已經不存在，又何談3.6、1.611這些尺寸的依據？所謂皮之不存。

劉勇先生也曾作過管長類似9∶4（實際為9∶3.9）的律管吹奏實驗，認為其乃是一種錯誤比值：“兩支管作陳澧、中村清二的正黃與半黃。結果，根本無須用儀器測音，一聽便知半黃和正黃不在一個律位（八度作同度看，下同）。鄒伯奇的兩支管半黃比正黃高出約3/4全音，陳澧、中村清二的兩支管半黃比正黃則高出近一個全音。”?劉勇：《“三寸九分”與律學實驗》，《黃鐘》，1992年，第2期，第53頁。

劉先生的實驗與本文實驗結果是一致的。本文實驗，閉管“正黃”與“半黃”之比為八度關系，故“正黃”比“太簇半律”?9∶8為大二度，故9∶4等于黃鐘與太簇半律相比。，后者高出（正黃高八度）近一個全音是符合實際情況的。

另外陳正生先生同樣質疑了9∶4八度關系的存在：“當管長之比為9∶4時能否成為八度關系呢？能！那就是當管長分別為管口校正量的9倍和4倍時，這兩支管的音程才是八度關系。這僅僅是筆者求出來的特例。”?陳正生：《康熙十四律乃徐壽“律管試驗”之濫觴—與戴念祖先生商榷》，《黃鐘》，1995年，第1期，第38頁。

陳先生以肯定“特例”存在的形式，否定了9∶4作為一種普適規律的可能性。其觀點同樣表明，9∶4只是某種特定長徑比下的特例，是不可能在同徑管上進行推演的。

2、荀勖笛“側孔校正”與管徑的動態變化關系分析

筆者依據楊蔭瀏先生考證的晉前尺黃鐘長度數據20.779776厘米?楊蔭瀏：《中國古代音樂史稿》，北京：人民音樂出版社，1981年，第168頁。制作荀勖黃鐘笛一支，來分析和驗證其側孔矯正的原理。該實驗黃鐘笛內直徑為21毫米，側孔直徑9.5毫米弱。在室溫20度左右，其黃鐘高度恰在g1，比楊先生的略高?本實驗笛開孔距離以孔的上緣為準，楊先生以孔中心為準。。正如楊先生所言：“大致上是符合三分損益的。”?楊蔭瀏：《中國古代音樂史稿》，北京：人民音樂出版社，1981年，第167頁。而筆者認為，孔徑比如果合適，應該可以更加準確。荀勖側孔定位原理各“變量”之間的關系如圖13所示：

圖13 “宮律加角律”定宮孔與“側孔校正”“吹孔校正”關系示意圖

圖示：⑴側孔校正。通過增大側孔，或者側孔向吹口縮進距離來實現音高的增加，為正向校正。“黃鐘宮”孔向吹口端縮進值的大小，與側孔直徑與管徑的比值Φ1／Φ2呈反比。一般情況側孔直徑遠小于管徑，故“孔徑比小于1”（Φ1／Φ2＜ 1），正常比在0.5以下。孔徑比的內涵實際上是二者所代表的開孔面積之比?也就是出氣口面積的大小之比值。為便于說明問題，本文在行文中將其簡化為比較直觀的“孔徑比”。：

側孔與筒音面積比=（π（孔半徑）r2）／（π（管半徑）r2）

假設側孔直徑（側孔橢圓與或圓的直徑應換算為等值面積）等于管徑，則孔徑比值接近1，相當于在側面聯通了一個新的筒音。但實際情況是，“孔徑比”通常小于1，所以必須向吹口端移動來提升音高。因此，側孔校正是形成宮孔定位“宮律加角律”的主要因素，同時也是校正“筒音”與其“相鄰側孔”音程的方式，二者在邏輯上具有同一性。

⑵吹口校正。其作用實際上導致音高降低，乃是一種“負校正”。因此吹口校正越大，側孔需要向吹口移動的距離越大，且從低音到高音影響是逐漸變大的，故并非常量。若吹口負校正過大，可能扭曲音階的音程關系。因此，就單個側孔縮進距離而言，與吹口校正成正比。規避吹口校正影響的最有效手段乃是增加管長。

“荀勖笛”宮孔位置的確定，正是“側孔校正”（主）與“吹口校正”（次）共同作用的結果，且與管徑的變化關系密切。

關于同徑異徑的問題，學界有兩種觀點。如楊蔭瀏先生認為荀勖笛是同徑管，而王子初先生認為應為異徑管，此處不贅。僅從邏輯上來衡量，本文認同后者，但在實踐中應是同徑、異徑相結合的方法。

從理論上看，若使用同徑，將和其造笛理論矛盾：假設黃鐘笛上宮孔在“宮角定位”后，按照三分損益上度下度的側孔，都是其他笛的宮音的高度（相當于同徑各笛宮音位置），則其向吹口移動的位置應該又能遵循各笛律“宮加角”的標準。即黃鐘宮音位置為“黃鐘宮加姑洗”，太簇音位置為“太簇加蕤賓”，依次類推。

據上圖☆號標記的太簇宮可知，太簇宮角定位（太簇加蕤賓18.470912+14.594300）值為33.065212厘米，其孔位和黃鐘笛上的按照三分損益“上度”“下度”定位的太簇（32.580636厘米）位置相齟齬。顯而易見，在同徑管上依據“兩種定位標準”產生的“黃鐘笛的太簇”和“太簇笛的太簇”開孔位置不一致。

故在側開孔大小固定不變的情況下，若“黃鐘笛宮角定位”為真，則“同徑太簇笛宮角定位”必為假，除非太簇笛放棄自己的宮角定位的比例而采用黃鐘笛的宮角定位。因此，宮角定位并非管上“管口校正”規律，需要配合適合的“孔徑比”才能實現。如王子初所言：“荀勖以宮角之差一數以概括之，當然為經驗性約數無疑。”?王子初：《荀勖笛律研究》，北京：人民音樂出版社，1995年，第60頁。

然而實際情況是，大小不同之笛，開孔直徑通常不相同。所以，管長小于黃鐘笛的太簇同徑笛的變通解決方式是，需要將側孔稍微開大（孔徑比值增大），以彌補“宮角差”減小引起的音高降低。而同徑管長大于黃鐘笛者，開孔需要縮小（孔徑比值減小），其他笛類推之。

也就是說，造笛時，無論同徑異徑，當“宮角差”（本質上屬于側孔縮進量）值變大，“孔徑比”（對應二者面積比）值就必須變小或反之，二者呈反比，此乃二者關系之定性。

而異徑的解決方案是，側孔大小不變，只需將太簇笛變細一點（相當于增加孔徑比值），其音高也會相應提升。因此，十二根異徑管的理想狀態是，從短而細的笛，到長而粗的笛，其孔徑比值是逐漸縮小的。

但異徑笛的關鍵是材料問題難以解決，因為很難找到十二根從粗到細均勻排列的竹管，更何況同一根竹管本身直徑也是不均勻的。故《宋書》有言：“然笛竹率上大下小，不能均齊，必不得已，取其聲均和。”?［梁］沈約：《宋書》，北京：中華書局，1974年，第217頁。

在實踐中，只要能做到音準調和，古人并不計較“竹率”是否“均齊”。因此，本文認為，荀勖笛在“異徑”或“同徑”形制上并無嚴格要求。史書未載有管徑的數據，正是此意。關鍵是，能在合適的“長徑比”（便于發音）區間，選擇合適的“孔徑比”（控制音準）造笛。

（三）“荀勖笛”側孔校正的實驗分析

1.“孔徑比”與“宮角差”的反比例對應關系分析

在對“孔徑比”與“宮角差”關系定性以后，仍需對其量的變化范圍進行分析。筆者采取抽樣?十二根笛的管長值，只是數學上的離散點，即使全部測完，也不是連續的線。故對于反比例的兩個變量，抽樣中間值、最高值、以及最低值，即可掌握曲線的走向。的方式，制作測試了黃鐘笛、中呂笛（最短）以及蕤賓笛（最長）三種管長之笛。實驗笛見圖14：

圖14 “異徑”“同徑”孔徑比實驗測試笛

測試管徑有16毫米、18毫米、21毫米和24毫米四種管徑。在制作中，發現黃鐘笛（未測24毫米）孔徑比值只要保持在0.43?0.43為十二平均的近似比值，經計算，實際三分損益比值為0.42偏小。左右，不同直徑黃鐘笛皆能發出正確音程。

測試最短的中呂笛（只測試16毫米、18毫米），其孔徑比值約在0.5左右。而最長的蕤賓笛孔徑比，約為0.35左右（只測試21毫米與24毫米，24毫米為亞克力管）。上述實驗實際包含了“同徑”與“異徑”兩種方法，決定音準的關鍵乃是孔徑比。十二笛的“孔徑比”?實際上應為側孔面積與管徑的面積比，為指數曲線，這里為制圖直觀方便，簡化為孔徑比。變化值可以用下圖坐標來表示（見圖15）。

圖15 十二笛“宮角差值”與“孔徑比值”對應坐標圖

圖示：由于各笛的筒音長度排列接近等比數列?三分損益之十二律有所偏離，但不影響原理表達。，故從高音到低音，各笛的“宮角差”將會越來越大，而孔徑比將越來越小。中呂笛與蕤賓笛的宮角差比值3.061123∶6.1260036約等于1∶2。由于二者為反比例關系，因此側孔與管徑的面積比應為2∶1。面積比等于半徑比的平方或直徑比的平方，故中呂笛孔徑比值平方0.52=0.25，則蕤賓笛孔徑比平方應為0.35362=0.125左右，測試值與計算值只有極小的誤差。二者平方比0.125∶0.25=1∶2。

如果是十二平均律，或者是下生中呂（見灰色數字，黃鐘二分乘以三），十二笛宮角差從中呂到倍中呂是1∶2。但三分損益之中呂，乃是最末一律，故而偏高較短，導致其宮角差的兩倍（即倍中呂笛，見上圖灰色笛，為理解參考用，并不存在）數值基本等于倍蕤賓笛的宮角差（二者約為6.12厘米，使用相同的孔徑比）。如此十二笛宮角差范圍，在未到達八度時就已經達到1:2，實際上接近于√（11&2）而非√（12&2）。

中呂笛孔徑比平方為0.25，則姑洗笛孔徑比2=0.25/√（11&2）。如此經十一次可得出其他十一笛的孔徑比。倘若為十二平均律則應為√（12&2）。需要注意的是，由于三分損益管長并非等比數列，故測試值與等比數列計算值有一定出入。

上述測試值“孔徑比”（面積比）與“宮角差”呈反比例曲線式下降恰恰反映了這一點。依據孔徑比的測試值，可有以下幾種造笛方案：

第一種造笛方案。假如側孔直徑9毫米，則孔徑比Φ9mm/Φ18mm=0.5，可知最短的中呂笛直徑應在18毫米比較合理。而Φ9mm/Φ25mm=0.36，可知最長蕤賓笛直徑應在26毫米以下。這意味著，若采用異徑形制笛，在側孔為9毫米的前提下，其從最細到最粗直徑范圍為18×26毫米左右。若側孔變小，該范圍直徑也會相應變小。本文以為，荀勖強調宮角定位，不僅僅是調整側孔與筒音的音程，同時還將管徑變化時，側孔依然能保持正常大小的制作經驗考慮在內，此乃是荀勖笛高明之處。

第二種造笛方案。一種直徑雖然可以通過改變側孔大小來實現孔徑比的變化，但實際上同一直徑只適合造相鄰長度的幾根笛，并不適合造十二笛。

第三種造笛方案。若將上述兩種方法合并，將十二種管徑大小量化為幾個區間。如四個區間，其合適的管徑（單位：毫米）大約為16、18、21、24四種直徑（或各增加2毫米）。

如此十二笛不必全部采用異徑或全部采用同徑，而是“異徑同徑”相結合的方法。相鄰三笛的開孔大小只需作微調即可，相當于“同徑異孔”之形制。

由于荀勖笛較長，不宜采用直徑過小的竹管，根據長度范圍值?［梁］沈約：《宋書》，北京：中華書局，1974年，第215-219頁。量化為四個參考直徑區間：

a、蕤賓、林鐘、夷則，采用Φ24（3.995-3.6晉尺）

b、南呂、無射、應鐘，采用Φ21（3.371-2.996晉尺）

c、黃鐘、大呂、太簇，采用Φ18（2.844-2.663晉尺）

d、夾鐘、姑洗，采用Φ16（2.4-2.133晉尺）

由于低音區“宮角差”變化值范圍明顯大于高音區，故a、b區間之間直徑間隔較大為宜。“同徑異孔”的原理，如第c區間，以大呂為軸，黃鐘笛只需開孔稍小、太簇笛開孔稍大即可。因三者管長相近，同徑完全可以輕易實現，其他區間類推之。將十二笛量化為幾個區間之直徑，大大降低了制作的難度，而在實踐中不難找到這種調高相近使用同直徑造笛的例子?二笛若采用共同的孔徑比，也可實現同徑笛。而荀勖笛必須各自保持不同的宮角差（孔徑比不同），因此兩者不同，此處不展開論述。。

當然也可將“量化區間”進一步增多。例如六個區間時，每兩笛共用同一直徑筒音，其側孔大小只需微微改變即可。因此區間越多越接近純粹的異徑管。

經實驗，在上述孔徑比參考值范圍內，荀勖笛甚至可以與鋼琴合奏。若大于上述值，將會出現筒音和側孔變徵之間音程過大的問題（其他孔同樣存在）。

假設在16毫米直徑上開9毫米側孔，相當于在較細的管上開較大孔，從而導致筒音和變徵之間音程過大。如王子初先生黃鐘笛采用16.5毫米直徑，其實驗數據筒音和變徵之差為“250音分”?王子初：《荀勖笛律研究》，北京：人民音樂出版，1995年，第59頁。。而筆者實驗的21、18、16毫米三種內直徑黃鐘笛，只要保持同一孔徑比，音分差則在200音分左右。

所以筆者以為，要還原荀勖笛律之實踐，必須保證合適的長徑比與孔徑比。

2.“側孔校正”對筒音與側孔之間音程的影響分析

管的長徑比越大（在發音區間內）誤差越小，而在長徑比較小的短管上產生的誤差較大，故需要較大的校正量。因此荀勖選擇較長的管長（四倍或八倍于正律）作筒音，正是為了規避短管產生的較大誤差。

特別需要強調的是，所謂各類“校正”量，實際上按照“頻率的改變方向”?若以管長為標準，則正負方向恰好相反，這一點特別值得注意。，又可分為“正向校正”（減少管長或氣柱長度，增加頻率）和“負向校正”（增加管長或氣柱長度，降低頻率）。依據的標準不同，可能產生不同的校正方向，這一點往往被學界所忽視。根據開管管長發音公式：

理想發音公式：頻率F=v（音速）/2L（管長）；加入管口校正量后的公式?戴念祖：《中國物理學史大系·聲學史》，長沙：湖南教育出版社，2001年，第88頁。：F=v/2（L+r）

其中L為管長，r為校正量，校正量與管的直徑或半徑相聯系，目前學界并未取得一致的精確校正值。從公式可以看出，L越大，r越小，八度管長比值就越接近理想公式發音。

例如，在開管狀態下，若以黃鐘九寸為坐標，則其半律4.5寸開管發音要偏低。因此需要微微減少其長度提升音高，乃是“正向校正”。或反之，以九寸為標準音高坐標，以一尺八發低八度音，則其發音微微高于九寸的低八度，所以需要略增加其長度降低音高，此乃“負向校正”。

荀勖笛由于以正律作坐標、倍律作筒音，相對于正律，筒音需要的恰恰正是“負向校正”（延長而非縮進）。故而對于荀勖笛筒音是否需要校正，必須以多種角度審視其原理。

荀勖笛上的“校正”與律管長度的“校正方向”關系可用圖16表示：

圖16 荀勖笛各類校正與律管校正方向示意圖

需要注意的是，若以黃鐘九寸閉管為坐標，則開管倍律為同度，四倍才是八度關系。因此要對倍律筒音進行校正，管長需要微微延長（負校正）來降低音高。但實際上簫笛類樂器，吹口帶有一定俯角，故而產生“吹口校正”（負校正）導致氣柱無形延長、音高下降，某種程度上起到了筒音矯正的作用。因此可以認為，荀勖笛筒音已經存在無形的氣柱長度的校正，故并不需要物理長度的修正。

再則，筒音并非側孔一樣的小孔，不存在“孔徑比小于1”產生的氣柱延長，故并不需要也向吹口移動一個（宮角之差）距離（見伏孔位置，參考圖13）。簡而言之，不能把“側孔校正”的規律當作筒音的“管口校正”規律。

倘若按照比例將變徵下方角音的“伏孔”開孔，其“側孔校正”方向（縮進）與筒音（正律之倍律）校正方向（延長）恰恰是相反且矛盾的。其結果是筒音與變徵之間的音程將會小于二律（相當于兩個不同性質的筒音）。

荀勖笛管長未作矯正，也曾被一些學者詬病。如林謙三先生說：“十二笛的倍角伏孔與筒口的距離，都接近宮律與角律之差。……而十二笛俱生一律前后的齟齬。”?［日］林謙三：《東亞樂器考》，上海：上海書店出版社，2013年，第374頁。

王子初先生說：“然而以今天的目光來衡量荀勖對端口不做校正的作法畢竟是不可取的。”?王子初：《荀勖笛律研究》，北京：人民音樂出版社，1995年，第70頁。其“端口”，正是指“管口”。

僅僅從距離上來看，黃鐘笛筒音與變徵之距離大約是其他側孔全音的二倍，然而在合適的孔徑比值下發音仍為大二度。若二者之間的距離按照側孔距離排列，筒音必定偏高（參考圖10）。

由此可知，林謙三先生所言，乃是因其對“側孔校正”與“管口校正”二者區別失查所致。而王子初先生雖然注意到“側孔校正”的意義，但卻忽略了“吹口校正”“校正方向”等因素的影響。

另據《宋書》記載，荀勖曾制作一支大呂笛：“輒令太樂郎劉秀、鄧昊等依律作大呂笛以示和，又吹七律，一孔一校，聲皆相應。然后又令郝生鼓箏，宋同吹笛，以為雜引、相和諸曲。”?［梁］沈約：《宋書》，北京：中華書局，1974年，第214頁。可知荀勖在造笛時，開孔音高（直徑大小的控制）應首先“依律”（制作），然后再“又吹七律”（校驗）進行的，故其“孔徑比”已被吹律的音高限制在準確的范圍內。

若不“依律”，僅僅以宮角定位是沒有意義的，因為管徑和側孔大小都是未知數。故缺失“孔徑比”的控制，荀勖笛制作將無從談起。

也有學者據上文記載，認為荀勖之笛筒音曾做過“管口校正”。如孫克仁先生認為：“這段記載很清楚地交代了當時校孔所賴的七個參照音高，是彈奏自箏的七個弦音”，并提出了荀勖笛上存在“彈箏修孔”“筒音校正”等觀點。?孫克仁：《荀勖笛律制作考》，《中國音樂學》，2017年，第1期，第52、54頁。

細讀原文，可知“又吹七律，一孔一校”，指的是笛孔與“七根律管”兩次相校而非其他。“然后又令郝生鼓箏，宋同吹笛”，顯然“鼓箏”“吹笛”是在校音準確后（聲皆相應）的表演性質的合奏。且這種表演的目的恰恰正是為了證明“大呂笛”的準確與協和，以及荀勖造笛理論的正確性。顯而易見，“校孔所賴的七個參照音高，是彈奏自箏的七個弦音”的論點，乃是一種誤讀。

綜上，“荀勖十二笛”未使用任何“管口校正”修正筒音管長。

結 語

笛類樂器與律管在吹奏方式以及發音原理上，存在較大區別。笛上所謂“管口校正”，主要是側孔、吹孔小于管徑造成的，屬于“側孔校正”“吹孔校正”范疇，乃是外因。如側孔距離的校正，是因為孔徑與管徑之比值發生改變形成的，屬于經驗值。故這種改變乃是一種表象，并非管律長度自身的“管口校正”系數，不應與純粹的管長比帶來的頻率變化“管口校正”混淆。

荀勖之笛，綜合了“側孔校正”“吹口校正”以及“管口校正”之間的變量關系，并巧妙利用“孔徑比”（對應面積比）與“宮角差”的對應變化，既保持了筒音長度三分損益的管長比例，維持了雅樂禮器形式上的尺寸，又實現了相對精確的音準，乃是典型的三分損益之實踐。