美國膨脹節制造商協會標準圓形波紋管膨脹節應力計算原理及其拓展推廣計算

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(自由職業， 江蘇 南京 210000)

波紋管膨脹節是壓力管道上常用的設備，其核心部件波紋管的設計相對復雜。波紋管不僅要滿足強度指標，還要符合疲勞壽命、剛度、穩定性等要求，設計時必須予以兼顧。膨脹節通常按照標準設計，膨脹節國際標準較多，其中以美國膨脹節制造商協會標準(EJMA標準)應用范圍為最廣，國內主要的膨脹節標準GB/T 12777—2008《金屬波紋管膨脹節通用技術條件》也是吸收EJMA標準并有所創新，與EJMA標準相互補充[1-4]。

隨著工業技術的進步，波紋管膨脹節的使用工況變得復雜。在石油化工管道中使用的膨脹節，由于介質成分比較復雜，常會出現波紋管與介質接觸層采用高性能的材料，其他層采用較為普通的材料來設計、制造波紋管，并且這一設計方式有向其他行業擴展的趨勢，如鋼鐵行業。目前多種材料制作的波紋管的設計計算還未標準化，不能滿足工業生產的實際需要。

文中分析和探討了EJMA標準中加強和無加強圓形波紋管的計算原理，并對EJMA標準計算原理進行推廣，推導出了2種不同材料制作的波紋管的應力計算公式[5]。本中分析基礎采用EJMA第九版2011增補，文中未特別說明的物理量含義與EJMA中的相同。

1 EJMA標準圓形波紋管計算原理

1.1 無加強型波紋管應力計算

1.1.1波紋管直邊段環向膜應力S1和套箍環向膜應力S1′

波紋管直邊段與套箍承受的力之和為波紋管總受力，且符合變形協調條件，其周向應變相等。總受力F1為：

F1=p(Db+nt)Lt

式中，p為設計壓力；Db為波紋管直邊段內徑；n為波紋管層數；t為波紋管單層壁厚；Lt為波紋管直邊段長度。

已知波紋管直邊段截面積為ntLt,套箍截面積為Lctc(Lc為套箍長度，tc為套箍厚度)。根據應變=應力/彈性模量[6]，可得方程組：

解此方程組,得：

(1)

(2)

EJMA標準對式(1)和式(2)進行修正，修正方法為分子分母同時乘以Db+nt，然后使用套箍平均直徑Dc代替式中套箍項Db+nt，并且分子和分母均乘以修正系數k，得出最終計算式：

1.1.2壓力在波紋管中產生的環向膜應力S2

S2計算原理與壓力容器周向膜應力計算原理[7]基本相同，區別是吸收位移后波紋管的受壓長度將會發生變化。單波受力F2=pDmL。其中，Dm為波紋管有效直徑；L為波紋管單波軸向受壓長度，取整個運動過程中出現的最大值。 EJMA標準中，L=qKr。其中，q為波距，Kr為周向應力系數(拉伸會使位移增大L，式中的Kr隨之增大)。

S2按下式計算式：

1.1.3壓力引起的子午向膜應力S3及子午向彎曲應力S4

《波形膨脹節實用技術》[8]中給出了無加強波紋管的S3、S4計算的基本模型。EJMA標準采用兩端固支直梁受線性均布載荷作用的模型模擬波紋管受壓工況，梁長度為W(即波高)，梁寬度為πDm(波紋管周向展開長)，梁高為tp(材料壁厚)。梁的受力F3和力矩M1的最大點在梁的兩端，S3和S4按下式計算(F3、M1算式在材料力學[9]中查出)。

EJMA標準對S4增加了修正系數Cp，S4計算式修正為：

1.1.4單波當量軸向位移e在波紋管中產生的子午向膜應力S5及子午向彎曲應力S6

文獻[8]中也給出了無加強波紋管的S5、S6計算基本模型。EJMA標準依然采用上文1.1.3所述兩端固支直梁模型，其一端發生e/2的偏移(1個波紋管相當于2個并列的梁)。梁的受力F4和力矩M2最大點在梁兩端，S5和S6按下式計算(F4、M2算式可在材料強度力學[10]中查出)。

對S5、S6，EJMA標準分別增加了修正系數Cf、Cd，并且把S6的系數3/2修正成5/3，得到S5和S6最終計算式：

1.1.5單波理論軸向剛度fi

(3)

式(3)是1層波紋管的單波理論軸向剛度計算式。如波紋管為多層結構，則只要乘以層數n即可。

1.1.6柱狀失穩壓力psc

EJMA標準計算柱狀失穩壓力psc時使用的模型把波紋管當量成兩端固定的細長壓桿,此桿直徑為波紋管有效直徑Dm，桿長等于波紋管長度Lb,波紋管波數為N，波紋管波距為q,此細長壓桿的臨界壓力Fcr按下式計算[11]：

(4)

1.2 加強型波紋管應力計算

1.2.1波紋管直邊段環向膜應力S1j及套箍環向膜應力S1j′

加強型波紋管的S1j、S1j′計算原理和無加強型波紋管的基本一樣，區別就是軸向受力長度取值發生了變化，其取值變成Lt+q/2，波紋管和套箍的金屬截面積相應變化，受壓長度范圍內的所有金屬面積都被計入，則波紋管截面積變成nLtt+Ac/2 (Ac為單波截面積)，套箍截面積變成套箍面積+鎧裝環面積，統一記成Atc。S1j和S1j′的最終公式為：

需要說明的是，考慮到國內普遍將套箍和波紋管的直邊段焊接在一起的做法使得套箍環向彎曲應力無太大實際意義，本文對EJMA標準中套箍環向彎曲應力不作進一步討論。

1.2.2整體型鎧裝環壓力在波紋管中產生的環向膜應力S2j和壓力在鎧裝環中產生的環向膜應力S2j′

波紋管加強鎧裝環分為整體連接型和螺栓連接型，這2種連接方式的計算有一定區別。下面針對EJMA標準中給出的整體連接鎧裝環的應力計算過程進行分析。計算基礎依然與容器膜應力計算理論一樣，容器的總受力為pDL，其中受壓長度L=qKr。采用EJMA標準中變量H來代表總受力，H=pDmqKr(EJMA標準中H并未包含Kr。為方便起見，文中H均包含Kr)，鎧裝環截面積為Ar，鎧裝環材料彈性模量為Er。

根據變形協調條件和受力平衡條件可以列出方程組[13]：

解此方程組，得基礎計算式：

(5)

(6)

同理，對式(6)進行調整，分子分母同時除以ArEr，有：

(7)

加強型波紋管最終計算公式是僅基于把鎧裝環看成材料和壁厚不同的一層波紋管(后面推廣分析不同材料組合成的波紋管時亦會證明此點)的假設得到的理論推導式，EJMA標準未做進一步的修正。

1.2.3螺栓連接型鎧裝環壓力在波紋管中產生的環向膜應力S2jl、壓力在鎧裝環中產生的環向膜應力S2jl′、壓力在連接螺栓產生的應力S2jl″

螺栓連接鎧裝環的徑向長度等于鎧裝環本體長度Dm與螺栓有效長度Lf之和，即Dm+Lf，螺栓連接鎧裝環受力徑向長度示意圖見圖1。

圖1 螺栓連接鎧裝環受力徑向長度示圖

螺栓連接鎧裝環徑向受壓長度與波紋管不同，即鎧裝環組件和波紋管的應變ε不再一樣。只能通過徑向絕對伸長量相同來計算，伸長量為Δ。由于Δ=εL且ε=S/E，則Δ=SL/E。鎧裝環主體伸長量和螺栓伸長量之和等于波紋管伸長量，則有方程組：

對比1.2.2節式(7)可知，螺栓連接的鎧裝環加強的波紋管承受的力會增大，其增大量與螺栓長度和截面積有關。而鎧裝環的應力會相應減小，但是此應力狀態只發生在螺栓所在這一特定截面上，在其他截面鎧裝環還是相當于整體連接的，特別是與此90°垂直的截面，因此鎧裝環應力需要取大的點，即S2jl′的值要用式(7)計算。

1.2.4S3j、S4j、S5j、S6j、fij、pscj

鎧裝環加強型波紋管這些參數的計算原理與無加強波紋管只有一點區別。由于鎧裝環的存在，波紋管的一部分緊貼在鎧裝環上，不再參與位移工作和受力，導致計算模型的梁長度變短了，EJMA標準把計算波高調整為W-4Crrm，其中rm為波紋管波紋平均半徑，Cr為和壓力有關的波高系數。簡單理解就是壓力越大，波紋緊貼到鎧裝環上的部分越多，梁長損失越多。壓力從0到無窮大，Cr相應從0.2增大至0.3(壓力小于0應該按0處理)。EJMA標準第十版更改了這一波高修改算法，取消了Cr[14]，這和本文分析原理關系不大，相當于一個系數，只要按照EJMA標準取值即可。

另外，對于S3j、S4j的計算，EJMA標準還增加了修正系數0.85、將pscj計算式中系數0.34調整為0.3等。

2 復合材質波紋管膨脹節應力計算公式推導

應用前述對標準圓形波紋管膨脹節計算原理的分析，針對由2種不同材料、壁厚組成的復合波紋管膨脹節進行應力計算公式的拓展性推導。所有參數基本含義與EJMA標準中相同，參數下標1表示常規材質層，2表示更換的材質層，例如Eb1、Eb2、n1、n2、S11、S12、S21、S22等。另外,Ac1、Ac2分別表示常規材料層和更換材料層的單波單層波紋管截面積；fi1、fi2分別表示常規材料層和更換材料層的單波單層理論軸向剛度；Ac表示單波總截面積，Ac=n1Ac1+n2Ac2；Ace表示單波總截面積彈性模量,Ace=n1Ac1Eb1+n2Ac2Eb2；y表示受線性均布力時梁的最大擾度。

2.1 波紋管直邊段應力S11、S12、S1t′計算公式

2.1.1無加強型波紋管

依照本文第1部分中對無加強型波紋管應力計算所作的原理分析，令Dp=Db+n1t1+n2t2，則有方程組：

解此方程組得：

調整方法同1.1.1節，計算式分子分母同時乘以Db+nt，然后使用套箍平均直徑Dc代替式中套箍項(Db+nt)，并且分子和分母均乘以修正系數k，得到由2種不同材料、壁厚組成的復合波紋管膨脹節的波紋管直邊段應力S11、S12、S1t′最終計算公式如下：

S11、S12、S1t′最終計算式中的系數k與波紋管材料壁厚有關。如果波紋管內不同壁厚材料組成，筆者建議按照常規層的壁厚取k值。

2.1.2加強型波紋管

應用本文第1部分中對加強型波紋管應力計算過程所作的原理分析，進行拓展性推導和調整，得到由2種不同材料、壁厚組成的復合材料圓形波紋管膨脹節的波紋管直邊段應力S11j、S12j、S1jt′最終計算公式如下：

2.2 波紋管與鎧裝環環向應力S21、S22、S2jt′、S2jt″ 計算公式推導

2.2.1無加強波紋管

環向膜應力的計算原理是2種材料承受的力之和等于總力H，有方程組：

解此方程組得：

2.2.2整體連接鎧裝環加強波紋管

應用本文第1部分中對整體連接鎧裝環加強波紋管應力計算所作的原理分析進行拓展性推導，由2種不同材料、壁厚組成的復合波紋管膨脹節有方程組：

解此方程組可得波紋管與鎧裝環環向應力S21j、S22j、S2jt′基本計算如下：

同理可得：

(8)

2.2.3螺栓連接鎧裝環環加強波紋管

對于由2種不同材料、壁厚組成的螺栓連接鎧裝環環加強波紋管，應用與本文第1部分相同的計算原理，用伸長量Δ相等進行計算(波紋管的2種材料符合應變相等的條件)，有方程組：

解此方程組得：

(9)

由式(9)可求出應力S21jlt最終計算式如下：

同理得：

出于對螺栓連接鎧裝環加強型波紋管的受力分析(與本文第1.2.3部分相同)，此處的環應力S2jit′相應地需改用式(8)進行計算。

2.3 波紋管子午向應力S31、S32、S41、S42計算公式推導

波紋管子午向應力的計算原理和本文第1部分分析的一樣，但由于部分層材料和壁厚的改變，各層分擔的分壓力將不相同(同一材料時，每層的分壓力是相同的)，因此要計算S31、S41、S32、S42，就需要先計算其分擔的分壓力，令分壓力分別為p1、p2。兩端固支直梁受線性均布力產生撓度示意圖見圖2。

圖2中梁的撓度計算式見工程力學手冊[15]，波紋管各層撓度y相同，則有：

圖2 兩端固支直梁受線性均布力產生撓度示圖

解此方程組得：

(10)

(11)

根據式(10)、(11)，直接調用前面的計算方法，即可求出應力，本文不再繼續推導，最終公式如下(括號內為加強型波紋管計算式,如果2種材料壁厚不一致，則系數Cp也不相同)：

2.4 S51、S52、S61、S62、fi1、fi2、fi、psct計算公式推導

對于位移引起的應力S51、S52、S61、S62以及波紋管各層單波軸向理論剛度fi1、fi2這些參數的計算，波紋管的各層相當于并聯，相互間并不影響，因此使用EJMA標準的公式代入各自參數分別計算即可。而總單波軸向理論剛度只需把各層計算值相加即可，柱失穩壓力psct亦可計算。結果羅列如下(括號內為加強型波紋管的計算式，如果2種波紋層壁厚不一致，則系數Cf、Cd也不相同)：

fi=n1fi1+n2fi2

2.5 平面失穩壓力psi計算公式推導

對平面失穩壓力psi的計算，筆者沒有得出確切的計算模型和理論依據，只通過EJMA標準的公式進行反推。對EJMA標準psi公式進行調整，有：

(12)

單獨考慮各層，每一層分擔到的分壓力均不能超過單層平面失穩的壓力，2種材料單層平面失穩壓力分別為：

(13)

按照上面推論，平面失穩壓力是由環向應力S2推導而來，就按照環向應力特性求解2種材料分壓力p1′、p2′，有：

解此方程組得：

先按照第2種材料單層平面失穩壓力psi2計算波紋管總平面失穩壓力，有：

(14)

將式(14)帶入式(13)得出按照第2種材料單層平面失穩壓力算出的總平面失穩壓力：

(15)

同樣步驟，可以求出按第1種材料單層平面失穩壓力算出的總平面失穩壓力：

(16)

然后取式(15)、式(16)計算出的數值較小者即可得出最終平面失穩壓力值。

3 結語

波紋管膨脹節在管線中使用情況變得越來越復雜，但是相應標準卻略顯滯后，特別是采用2種材料復合制造的波紋管越來越多的被應用，標準中卻沒有相應計算公式。本文通過分析EJMA標準的設計計算原理并按照原理進行推廣，推導出了復合制造波紋管的計算公式，可以解決相應實際問題。