如何在解題教學(xué)中滲透學(xué)法指導(dǎo)

☉江蘇省江陰高級中學(xué) 沈敏忠

很多高中學(xué)生都會為自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)準(zhǔn)備幾本好的資料，將資料上的練習(xí)題做上一遍就可以提高數(shù)學(xué)成績是這部分學(xué)生的普遍認(rèn)知，然而這種認(rèn)知和行為卻往往不能為其帶去良好的學(xué)習(xí)效果，實(shí)際上，將大量的時(shí)間和精力置于盲目解題卻又不反思、總結(jié)的行為并不能令其數(shù)學(xué)成績得到有效提升.

筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐、高中數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)進(jìn)行了學(xué)習(xí)方法滲透的研究與思考，具體做法如下.

一、培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的習(xí)慣

重視學(xué)生主體并培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的習(xí)慣能夠有效促進(jìn)學(xué)生的積極參與和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善，學(xué)生靜心思考和獨(dú)立解題能夠有效地增強(qiáng)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信.

例1已知α，β∈，且，求證：

分析：學(xué)生在解決此題時(shí)，如果不能對題目進(jìn)行獨(dú)立的思考和分析，在答題時(shí)不假思索地運(yùn)用常規(guī)思路求解sin（α+β）或cos（α+β），并結(jié)合α+β的取值范圍進(jìn)行證明，但題中的條件等式只有一個(gè)，從而求解三角函數(shù)值是行不通的，解題受阻自然產(chǎn)生.因此，變換思維角度來求解是必須的，先證α+β≥，再證α+β≤，或者運(yùn)用反證法令問題得解.

證法1：首先，由已知等式得sin2α+sin2β=4sinαsinβ，即sin（α+β）cos（α-β）=cos（α-β）-cos（α+β），cos（α+β）=cos（α-β）［1-sin（α+β）］≥0.因?yàn)棣?β∈（0，π），所以α+β≤；其次，由已知等式及均值不等式可得所以cotαcotβ≤1，即tanαtanβ≥1.所以又因?yàn)椋驭痢荩处?β≥綜上可得

證法2（反證法）：因?yàn)椋驭?β∈（0，π）.設(shè)，若，則，由正、余弦函數(shù)的單調(diào)性可得，所以，與已知矛盾.同理可證，當(dāng)＜α+β＜π時(shí)，與已知同樣矛盾.因?yàn)棣?β∈（0，π），所以

這一道有一定難度的題目的解題教學(xué)不僅對反證法的解題思路進(jìn)行了巧妙的復(fù)習(xí)，還使學(xué)生在新問題的獨(dú)立思考中獲得了分析問題、解決問題的能力.學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考習(xí)慣的同時(shí)也大大提升了自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、培養(yǎng)學(xué)生一題多解、多解歸一的思考意識和習(xí)慣

引導(dǎo)學(xué)生在解題中進(jìn)行一題多解、多解歸一的思考能夠有效地發(fā)展學(xué)生的智力和解題能力，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得生動活潑的同時(shí)也大大減少了題海練習(xí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的視野也會因此更加開闊.從不同方向?qū)ν坏罃?shù)學(xué)題進(jìn)行審視往往能夠得到不同的解法，因此，教師在解題教學(xué)中應(yīng)抓住一切有利時(shí)機(jī)對學(xué)生進(jìn)行有針對性的啟發(fā)，使學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上盡可能地提出各種不同的新構(gòu)想，使學(xué)生能夠逐步養(yǎng)成追求更好、更簡、更巧的解題方法的意識與習(xí)慣，基礎(chǔ)知識之間的縱橫聯(lián)系與溝通也因此變得更為緊密，學(xué)生也會在解題能力發(fā)展的同時(shí)獲得更為廣闊的解題思路.

例2已知f（x）=，a，b為相異實(shí)數(shù)，求證：|f（a）-f（b）|＜|a-b|.

從探求解題方法的角度對這道不等式證明題進(jìn)行思考可以獲得以下思路：

思路1：常規(guī)方法，首先進(jìn)行平方，將絕對值符號去掉，然后作差比較，最后運(yùn)用配方法進(jìn)行證明.

思路2：作商比較法，首先運(yùn)用共軛根式的知識將分子進(jìn)行有理化，然后利用放縮原理進(jìn)行證明.

思路3：三角代換法，觀察式子的結(jié)構(gòu)特征并聯(lián)想函數(shù)，令x=tanα，然后再轉(zhuǎn)化成三角不等式進(jìn)行證明.

思路4：構(gòu)造復(fù)數(shù)證明，結(jié)合函數(shù)的特點(diǎn)，以及復(fù)數(shù)的模構(gòu)造復(fù)數(shù)z=1+xi，然后利用復(fù)數(shù)的三角不等式進(jìn)行證明.

思路5：考察表達(dá)式f（x）=可視作點(diǎn)P（x，1）到點(diǎn)O（0，0）的距離，當(dāng)a≠b時(shí)，由點(diǎn)P1（a，1）、P2（b，1）與原點(diǎn)確定的△OP1P2中任一邊大于其余兩邊之差即可令問題得到證明.

思路6：解幾證法，方程f（x）=表示雙曲線y2-x2=1的上支，為雙曲線上兩點(diǎn)（a，f（a））、（b，f（b））連線的斜率的絕對值，則問題即轉(zhuǎn)化為估計(jì)雙曲線的上支的任一弦所在直線的斜率，雙曲線y2-x2=1的漸近線斜率是±1，則得證.

解決本題可以從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度入手，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想一題多解模式并使學(xué)生學(xué)會從多角度觀察、思考和聯(lián)想，能使學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行融會貫通并獲得更多的解題辦法.符合學(xué)生認(rèn)知心理與認(rèn)知規(guī)律的這種引導(dǎo)不是解題方法的簡單羅列，也不是解題思路的強(qiáng)行灌輸，而是引導(dǎo)學(xué)生自主探索、自我發(fā)現(xiàn)的有益思維過程.

三、培養(yǎng)學(xué)生及時(shí)小結(jié)和糾錯(cuò)的習(xí)慣

各種原因都可能導(dǎo)致學(xué)生在解題時(shí)出錯(cuò)，錯(cuò)誤自然在所難免，但一錯(cuò)再錯(cuò)的現(xiàn)象卻值得教師關(guān)注，這是學(xué)生混淆概念、忽視隱含條件、特殊代替一般、忽視特例、邏輯不夠嚴(yán)密等問題造成的，因此教師應(yīng)該在教學(xué)中對學(xué)生不斷地進(jìn)行針對性的訓(xùn)練和培養(yǎng)，使學(xué)生能夠逐步養(yǎng)成及時(shí)小結(jié)和糾錯(cuò)的習(xí)慣，并因此達(dá)成有效防范錯(cuò)誤的目的.

例3若是第二象限的角，則m的取值范圍為（ ）.

A.m=8 B.3＜m＜9

C.m=0或m=8 D.-5＜m＜9

錯(cuò)解：θ是第二象限的角，由和-1＜解得3＜m＜9，故選B.

這是一個(gè)典型錯(cuò)誤，其實(shí)只要在解題后對其進(jìn)行檢驗(yàn)，很快就能發(fā)現(xiàn)這一解答是錯(cuò)誤的.取m=5，則sinθ=此時(shí).這是沒有考慮sin2θ+cos2θ=1這一隱含條件而導(dǎo)致的錯(cuò)誤，本題應(yīng)選A.

合理“設(shè)置錯(cuò)誤”以幫助學(xué)生及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤和糾正錯(cuò)誤也是極有意義的教學(xué)手段，這能使學(xué)生在錯(cuò)誤的發(fā)現(xiàn)、辨析和糾正中抓住問題的本質(zhì)，使學(xué)生能夠?qū)栴}形成全方位、多角度的思考和分析并獲得事半功倍的學(xué)習(xí)效果.不僅如此，學(xué)生還能因此逐步養(yǎng)成不斷反思的好習(xí)慣.

四、培養(yǎng)學(xué)生寫“數(shù)學(xué)小論文”的習(xí)慣

很多數(shù)學(xué)概念與結(jié)論都給人特別抽象的感覺，但事實(shí)上，很多數(shù)學(xué)問題都是從現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活中得來的.教師應(yīng)使學(xué)生能夠明白這種意義并運(yùn)用已有知識解決超出教材范圍的問題.

例4一扇形鐵板AOB的半徑是R，圓心角是，在該扇形中切割下一內(nèi)接矩形PQRS，矩形PQRS的各頂點(diǎn)均在扇形的弧或半徑上，則該矩形的最大面積是多少？

分析：解決本題首先應(yīng)弄清楚內(nèi)接矩形有如圖1、圖2所示的兩種情況并分別作出處理，再最終求出其最值.由題意可知，首先可以構(gòu)造函數(shù)，然后選取如圖所示的自變量θ并建立矩形面積關(guān)于θ的三角函數(shù).圖1中矩形的面積很快可以求出，面積，可得當(dāng)時(shí)，其面積可取最大值；圖2中矩形面積可得當(dāng)時(shí)，其面積取得最大值.因?yàn)椋虼巳鐖D1所示的內(nèi)接矩形的最大面積更大，為這一結(jié)論得出之后，教師應(yīng)該啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行以下思考：條件發(fā)生變化時(shí)可得出什么結(jié)論呢？你在這一結(jié)論中可得到什么啟示？引導(dǎo)學(xué)生首先提出問題并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)小論文的創(chuàng)作.

圖1

圖2

總之，教師應(yīng)對教與學(xué)這一雙邊活動進(jìn)行更多的思考，將學(xué)法指導(dǎo)滲透進(jìn)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中去并因此促成學(xué)生更多的領(lǐng)悟思考，使學(xué)生能夠在掌握更多學(xué)習(xí)方法的過程中獲得更多終身受益的能力的領(lǐng)會和提升.