拓展隔板法在高中數學解題中的應用

毛惠明

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?在排列組合中，傳統的隔板法在應用中有著諸多限制，應用范圍較窄，結合在教學中的經驗對隔板法進行再思考，徹底改變了傳統隔板法的思維模式，并拓展了隔板法的應用范圍。

[關 ? ?鍵 ? 詞] ?捆綁法;插空法;隔板法;拓展隔板法

[中圖分類號] ?G712 ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼] ?A ? ? ? ? ? ?[文章編號] ?2096-0603（2019）17-0080-02

在組合數學中，隔板法（又叫插空法）是排列組合的推廣，主要用于解決不相鄰組合與追加排列的問題。在高中數學排列組合問題中，常見的解題方法有“捆綁法”“插空法”“隔板法”等。筆者經過多年的教學實踐，對眾多方法中的“隔板法”進行深入研究，改變了此方法的傳統思考模式，同時拓展了此方法的應用范圍。本文將對此方法作一個詳細介紹。

一、對“隔板法”的再思考

（一）傳統的隔板法

對隔板法來說，就是在n個元素間插入（b-1）個板，即把n個元素分成b組的方法。簡而言之，就是排列組合中的一種解題應用模型，是將“實際分配問題”或較復雜的數學“球盒問題”轉化為“球板模型”的一種重要方式。其中用球代表相同元素，用板所隔出的幾個部分代表相應的分配集合，也就是“球”。通過隔板的不同插入方式，得到不同的分配結果。這里需注意的是，既然是插隔板，那么每個空只能插一個，即兩個隔板間至少一個元素。（而板的插入方式則可由簡單的計數原理插空法計算得出）

傳統的隔板法把隔板“當成”元素插入元素的空隙間，每一種插法對應一種排列組合的方式，以此得到解題結果。我們先看一個簡單的例子。

例1.將5個相同的球放入三個盒子，每個盒子均不能為空，共有多少種不同的分配方案？

分析：問題可看成把5個球分成三份，且每份非空，我們可以用兩個隔板達到這個目的。先將5個球并成一排，

○ ?○ ?○ ?○ ?○

因為每個盒子非空，故將兩個隔板插入4個空，每一種插法，對應一種分配方案，故有C24種方案。

評析：上述解法實際上是插入法的一種變形應用。在應用中，此方法僅適用于盒子非空的情形，也就是我們通常所描述的“每個盒子至少有一個球”若盒子允許為空，則此法無效。

（二）隔板法拓展

傳統的隔板法適用于盒子非空的情形，若盒子允許為空，又該如何解題？我們再看上面的例子。

例2.將5個相同的球放入三個盒子，共有多少種不同的分配方案？

分析：此例與例1相比，不同的是此題允許盒子為空。

我們可以分兩種情形來考慮：一種是兩隔板相鄰;另一種是兩隔板不相鄰。

1.隔板相鄰時，先將5個球并成一排，

○ ○ ○ ○ ○

可考慮在四個空位及首尾兩個位置共六個位置中選一個位置放入兩個相鄰的隔板，如“○ ?○ ?| ?| ?○ ?○ ?○” （其中 “|”表示隔板）表示“第一個盒子放兩個球，第二個盒子放零個球，第三個盒子放三個球”，故隔板相鄰時共有C16種方法;

2.隔板不相鄰時，先將5個球并成一排，

○ ?○ ?○ ?○ ?○

可考慮六個位置中選兩個位置放入兩個隔板，如“| ?○ ?○ ?| ?○ ?○ ?○”表示“第一個盒子放零個球，第二個盒子放兩個球，第三個盒子放三個球”，故隔板不相鄰時共有C26種方法。

綜合1、2可知總的分配方案有C16+C26=C27=21種。

評析：此方法可推廣到n個球的情形，具體結論如下：

結論一：n個相同的球放入三個盒子（允許盒子為空）的方法有C1n+1+C2n+1=C2n+2種。

（三）隔板法再拓展

結論一解決了n個相同的球放入三個盒子的問題，若盒子數目更多一些又該如何解題呢？我們還是以例子來說明。

例3.將5個相同的球放入四個盒子，共有多少種不同的分配方案？

分析：此例與例2相比，不同的是此題多了一個盒子。

我們先觀察5個相同的球放進四個盒子的一種分法：

○ ?| ?○ ?○ ?| ?○ ?| ? ○

上述分法表示：第一個盒子放一個球，第二個盒子放兩個球，第三、第四個盒子各放一個球。

類似的，“| ?| ?| ?○ ?○ ?○ ?○ ?○”表示5個球都放進第四個盒子;“○ ?| ?| ?○ ?○ ?○ ?○ ?|” 表示第一個盒子放一個球，第二個盒子放零個球，第三個盒子放四個球，第四個盒子放零個球……

由此，這個問題可化為下列問題：“在8個位置中選取三個放隔板的方法有多少種？”易知，方法共有C38=56種。即5個相同的球放入四個盒子，共有C38=56種不同的分配方案。

評析：此題的解決過程，思考方法與結論有著很大的不同。此法實際上是：先將3個隔板看成是球，與原有的5個球并成一排，再在8個球中任取三個變為隔板即可，而每一種變法就對應一種分配方案。此方法也可進行推廣，具體結論如下：

結論二：n個相同的球放入m個盒子（允許盒子為空）的方法有Cm-1 ? ? n+m-1種。

易知，結論一是結論二的一種特殊情況。

下面兩個例題分別用傳統隔板法和拓展隔板法，我們來注意一下解題思路的區別。

例4.求方程 x+y+z=6的正整數解的個數。

分析：這是一個傳統隔板法的問題，將6個“1”排成一排，“1”與“1”之間形成5個空隙，將兩個隔板插入這些空隙中（每空至多插一塊隔板），規定由隔板分成左、中、右三部分的“1”個數分別為x、y、z之值。則隔法與解的個數之間建立了一一對立關系，故解的個數為： C25=10（個）。

例5.求方程 x+y+z=6的自然數解的個數。

分析：這是一個拓展隔板法的問題，此問題與例題4的主要區別在于，這里的x、y、z允許其中一個為零或兩個為零。我們將8個“1”排成一排，將兩個隔板去替換其中的兩個“1”，由隔板分成的左、中、右三部分“1”的個數分別為x、y、z值。則隔法與解的個數之間建立了一一對立關系，

下面說明一下當取值為零的時候舉兩個情況，其中 | ?1 1 | ?1 1 1 1，表示x=0，y=2，z=4，

其中 | ?| ?1 1 1 1 1 1，表示x=0，y=0，z=6。

由結論一，易求得，自然數解的個數為：C28=28（個）。

二、“隔板法”的應用舉例

例6.已知A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8}，由集合A到集合B的映射f滿足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）。問這樣的映射有幾個？

分析一：我們先按照一般分類列舉的思路解一下這道題。

當f（5）=6時，只有1種;當f（5）=7，f（4）f（3）f（2）f（1）依次可對應為7777、7776、7766、7666、6666這5種;當f（5）=8時，若只有8和7，同上有5種，只有8和6時，也有5種，但是這種情況重復了一個88888，所以有9種;若8，7，6都有時，f（4）f（3）f（2）f（1）依次可對應為8876、8776、8766、7776、7766、7666這6種。因此符合條件的映射共有1+5+9+6=21（個）。

分析二：我們再按照拓展隔板法解一下此題。

聯想排列組合知識，可把集合A中的元素看成5個相同的球，集合B中的元素看成3個盒子，則上述問題可化為下面的問題：“5個相同的球放進3個盒子有多少種方法？”

由結論一，易求得，方法有C27=21種。

即滿足條件的映射f有C27=21個。

注：此題中f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5），因為有序，所以看成5個球后應是相同的，這是一個辯證的觀點，在解題中應充分注意這一點。

例7.若a、b∈N，且a+b≤6，試問直角坐標系中滿足條件所對應的點（a，b）有多少個。

分析：因為a、b∈N，所以可以把a、b看成若干個數字“1”相加后的整體。又由于a+b≤6，故a、b合在一起總共不能超過6個“1”。我們先將6個“1”排成一列

1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1

再仿照結論二的方法，放入兩塊隔板即可。如“1 ?1 ?1 ?1 ?| ?| ?1 ?1”表示“a=4，b=0”，即對應點（4，0），因為后面兩個“1”被丟棄，所以當然有a+b=4≤6，類似地“1 ?1 ?| ?1 ?1 ?1 ?| ?1”表示“a=2，b=3”，“| ?1 ?1 ?| ?1 ?1 ?1 ?1”表示“a=0，b=2”…

所以，由結論二易知滿足條件的點一共有C28=28個。

注：此題中看似只有a、b兩個未知數，但在具體確定它們值的時候，我們用了兩個隔板，取前兩個分別賦予a、b，而第三個被舍棄，從而保證a+b≤6。這個思考方法要給予特別注意。

三、“隔板法”的適用范圍

經過前面的介紹，可以看到新的隔板法在兩個方面拓展了傳統的隔板法應用范圍，其一是允許盒子為空，其二是盒子數目不限。

但在使用拓展隔板法時，必須注意下面兩個問題：（1）球必須相同，若球不同，則不能采用隔板法;（2）使用隔板法求出的每一種情形并不是等可能性的，所以，在有關古典概率的問題中，不能采用隔板法。

總之，排列組合計數問題，背景各異，方法靈活，能力要求高，對相同元素有序分組問題， 采用“隔板法”可起到簡化解題的功效。對不同元素只涉及名額分配問題也可以借助隔板法來求解。筆者在多年的教學過程中總結了很多經驗，對以往常用的隔板法的作出深入研究，旨在對傳統思考模式進行轉變，讓隔板法的應用范圍，幫助學生更好地解決排列組合問題，達到提升數學成績的目的。

參考文獻：

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編輯 李 靜