跳躍型和連續型隨機干擾共同作用下系統的保成本控制研究

張婭 許朋

摘要：文章針對Wiener過程和Poisson過程同時驅動的隨機系統，研究了保成本控制問題，利用Lyapunov穩定性理論和隨機分析理論，給出了保成本控制器的設計方法。最后用仿真說明了該方法的有效性。

關鍵詞：隨機系統;Poisson過程;控制

一、緒論

保成本控制是魯棒控制研究的重要方法之一，經過幾十年發展，保成本控制取得了大量的成果。對于隨機系統，其保成本控制問題也吸引了研究人員的關注。如對不確定隨機非線性系統，設計了輸出反饋保成本控制器。

但是，在上述隨機系統的保成本控制研究中，系統均是采用Wiener過程來對隨機現象進行建模的。但由于隨機干擾的復雜性，系統在實際運行中會受到連續型和跳躍型隨機干擾的同時影響，此時應建立Wiener過程和Poisson過程共同驅動的隨機系統。目前，Wiener過程和Poisson過程共同驅動的隨機控制系統的研究已經有了初步的進展。但對于該系統的保成本控制問題，目前尚未檢索到相關文獻。因此，本文針對Wiener過程和Poisson過程共同驅動的隨機系統的保成本控制問題，利用Lyapunov穩定性理論和隨機分析理論，設計了保成本控制器。最后用仿真說明了該方法的有效性。

二、系統模型

Wiener和Poisson過程共同驅動的隨機系統模型為

dx（t）=[A（t）x（t）+B（t）u（t）]dt+Cx（t）dW（t）+Dx（t-）dN（t）（1）

x（0）=ξ，（2）

這里x（t）∈Rn為狀態，u（t）∈Rm為控制輸入。W（t）是Wiener過程，N（t）是強度為λ>0的Poisson過程，兩個隨機過程是相互獨立的。x（0）為初始條件，且

A（t）=A+ΔA（t），B（t）=B+ΔB（t），

這里A∈Rn×n，Bn×n是已知矩陣。ΔA（t），ΔB（t）為系統的不確定性，滿足

[ΔA（t）? ΔB（t）]=MF（t）[N1? N2] （3）

其中，M，N1，N2為已知矩陣;F（·）：R→Rk×l表示未知時變矩陣函數，滿足

F（t）TF（t）≤I，？坌t（4）

對系統（1）-（2），將設計如下的狀態反饋控制器

u（t）=Kx（t）（5）

其中，K是待定增益矩陣。將控制器（5）代入至系統（1）-（2），得閉環系統（∑C）為

dx（t）=Ak（t）+Cx（t）dW（t）+Dx（t-）dN（t）（6）

x（0）=ξ，（7）

其中，Ak（t）=A（t）+B（t）K。對系統（∑C），考慮成本函數

其中R1，R2是給定的正定矩陣。

本文要解決保成本控制問題是對系統（1）-（2），設計控制器（5）使相應閉環系統（∑C）是魯棒均方隨機漸近穩定，且對于所有的不確定性，性能函數（8）有一個上界。

三、保成本控制器的設計方法

定理1 對隨機系統（1）-（2）和成本函數（8）。保成本控制問題是可解的充分條件是如果存在矩陣X>0，Y和標量ε1使得如下LMI成立

其中

Ω11=AX+XAT+BY+YTBT-λX+ε1MMT，

此時保成本控制器為u（t）=Kx（t），K=YX-1，（10）

且成本函數滿足J≤E（x（0）TX-1x（0）），（11）

證明：首先證明閉環系統（∑C）是魯棒均方隨機漸近穩定性的。對系統（∑C），選擇李雅普諾夫函數

V（t，x（t））=x（t）TPx（t），（12）

其中，P=X-1。則由Ito^公式可知對任意的T>0，

對（13）兩邊取期望有

這里

DV（t，x（t））=x（t）TΘ（t）x（t）（15）

其中，Θ（t）=PAk（t）+Ak（t）TP+x（t）TCTPCx（t）+λ（I+D）TP（I+D）-λP。

根據（9），易知矩陣Ξdiag（P，P，P，I，I，I）是非奇異的。故

ΞTΩΞ<0（16）

然后利用Schur補公式，即得

另一方面，令利用（3），（4），有

綜合（17）和（18），有

Θ（t）+R1+KTR2K<0，（19）

其中，Θ（t）=PAk（t）+Ak（t）T+λ（I+D）TP（I+D）-λP+CTPC.

從（19）知，可以找到一個常數c>0使得

Θ（t）<-cI.（20）

則從（15）和（20），有

DV（t，x（t））≤-cx（t）Tx（t）（21）

此時可知閉環系統是魯棒均方隨機漸近穩定的。

接下來，本文將表明使用控制器（10），成本函數滿足（11）。為此，將考慮（12）中的李雅普諾夫函數。（19）表明

R1+KTR2K<-Θ（t），（22）

則

x（t）T（R1+KTR2K）x（t）≤-x（t）TΘ（t）x（t）=-DV（t，x（t）），（23）

對（23） 兩邊同時從0到T>0積分，然后取數學期望，有

因此，（11）中的上界被滿足。

四、數值仿真

考慮線性隨機系統（1）-（2）具有如下參數

A=2 00 2，B=1 ? 0.10.2 -1，C=0.3 00 0.3，D=0.2 00.1 0.2，M=0.1 0.20.5 0.2，N1=0.3 00 0.2，N2=0.2 00 0.24，λ=2，F（t）=sint，ξ=0.40.6

R1=1 00 1，R2=2 00 2

此時，開環系統的狀態曲線如圖1所示，圖1說明該開環系統是不穩定的。那么，利用定理1，可求出滿足式（9）的控制器參數

K=-4.5513 -1.3530-0.3106 6.0696

則相應的閉環系統的狀態曲線為圖2所示。則從圖2可知，此時設計的狀態反饋控制器能使相應的閉環系統保持穩定和滿足給定的性能。

參考文獻：

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