一節數學探究課的設計與思考

摘?要：在高一數學必修一學完函數的所有內容后，學生反映學習函數太難，太抽象要求能給他們一節能全面研究函數，學習函數的方法，為此設計了一節《函數圖象與性質探究》的探究課，想通過對幾個函數性質的探究，來反映函數的圖像與性質，掌握研究函數的一般方法與過程。

關鍵詞：探究課;函數圖像;函數的性質;自主學習

函數圖象是高中學習的一個重要內容，通過函數圖象可以直觀地研究函數的性質、特征，進而解決實際問題。在函數圖象學習時，我們徒手畫函數圖象的方法是用描點法來實現的，這顯得十分麻煩和費事，特別是對一些比較復雜的函數，徒手作函數根本是無法做到的。教學過程中我采用給出一些函數，讓學生用自己的方式研究這些函數的性質，并借助了信息技術手段，讓學生準備自己習慣用的做函數圖像的工具。學生有拿通用計算器，作圖軟件，幾何畫板等。整節課具有開放，自由，明主的特點。

一、 引入

基本初等函數有常數函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數、六大類。有基本初等函數進過有限次的有理運算和復合而成的并且可以用一個式子表示的函數稱為初等函數。如y=log2（x2-2x）、y=3x-13x+1、y=log21+x1-x、y=x2+1x、y=x2-1x…對于這些初等函數我們如何把握他們的圖像與性質呢？

二、 函數圖像與性質的探究過程

（一） 自主探究函數y=3x-13x+1的性質

明確研究函數的性質主要討論的具體內容有函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、零點…留給學時間，用自己的數學工具先畫出函數的圖像，再根據圖像總結性質。讓學生之間交流匯報自己的發現，然后教師再歸納總結、完善證明結果。學生在討論研究中自己解決問題，學生有疑問的地方教師要及時指點。比如，當學生對函數的值域產生問題時，及時講解，尊重學生的認知規律，順其自然，水到渠成地引導學生，激勵學生的學習興趣。從而總結出函數的性質與圖像在函數研究中的相輔相成的作用，并且給了學生一種研究函數的方法。在探究過程中有些學生通過觀察函數圖像，得到了相關結論，這實際上是一個合理的猜想，在這個基礎上教師引導學生進行嚴格的證明，不僅加深學生的記憶，又能幫助學生找到解決問題的方法。反過來，若要把握函數的圖像，則可以通過對函數性質的探究分析得到函數的草圖。

（二） 畫函數y=log2（x2-2x）的草圖（不借助技術手段）

學生交流作圖過程，相互補充，得到函數草圖，再利用信息技術進行驗證，相互補充，重點展示函數圖像的生成過程。讓學生自己動手畫出圖像，總結性質，無疑將會有利于培養學生的自主探究意識和數學能力。尤其是在研究復合函數時，學生往往不明白為什么需要判斷“內、外”層函數的單調性，平時教學中在處理這一問題時，教師往往也沒用很好的辦法，只能讓學生先記住方法，通過死記硬背來做題。在這讓學生能夠首先直觀地得到復合函數的圖像，通過圖像再來研究和理解“同增異減”，就容易多了。

（三） 自主探究函數y=x2+1x2的圖像與性質

對于這個函數的探究結果讓我驚嘆，有的學生還甚至想到了漸近線，要求我給出漸進線的證明過程。他們還發現函數的定義域、值域和漸進線的討論可以限定自變量和函數值的范圍;奇偶性可以對問題進行簡化;單調性決定了函數值得變化規律。

經過以上訓練學生感受到研究函數圖像與性質的一般方法了。這個問題的設計既能檢驗學生的學習效果，對學生的探究學習建立了永久性的基礎。例題的設計從簡到難，層層加深，有層次感。

三、 探究課留給我的思考

（一）

函數是貫穿高中數學的一條主線，高中數學對函數的要求不僅僅是知識結構的認知，更重要的是體現函數的數學思想。學生關于函數的學習困難很大，學習結束后若去問學生，“數學哪里感覺學不懂？”學生總會說是函數，“為什么呢？”學生總會說“函數抽象，很難理解，知識感覺零散”。對于這些問題我一直在想有沒有一種能整體研究函數的辦法，設計這節課后我眼前浮現出數學的研究價值，我突然明白，教給學生研究問題的方法與方向，才是數學教學的真正價值與實際意義。清華二附中的徐文賓老師說“數學教學是有生命力的，是可以拓展，延伸，發展的，不是干巴巴的傳授知識”。

（二）

這是一節拓展延伸課，是以學生為主體，注重學法指導，重視新舊知識的契合，關注知識的類比，學習方法的遷移。在研究函數的圖像與性質時，要緊扣第一章的函數知識，讓學生在研究函數時有明確的目標，即函數三個要素（對應法則、定義域、值域）和函數的基本性質（單調性、奇偶性、對稱性、漸近線）。通過自主探究的方法，讓學生明白研究函數可以從圖象和解析式這兩個不同的角度出發，將學生的注意力引向圖象及其性質。設計中通過學生的自主探究、合作學習，側重對解析式、做圖象的探索。學生借助信息手段生成的直觀圖形，以形助數，以數定形，數形結合的數學方法，收到了較好的研究效果。由學生需要解決的問題出發，引導學生自己試驗直到探究解決問題的方法，讓學生經歷了真正意義上的研究數學的一個過程，這種教學方法體現了整體把握課堂的特點，所有的教學都圍繞函數的性質與圖像這條主線展開，具有可控制性，又有發散性。

（三）

這節課上完后讓我明白，課堂因生成而精彩，也因缺憾而美麗，我們老師就是在不斷彌補缺憾、不斷生成精彩中走向成熟，走近完美的。設計這堂探究課讓我陷入了思考，我們要培養有創造性的人才，就要給他們建立有創造的環境，留給他們有創造性的問題。而這種把零散的知識點用整體把握的方式，用一條主線串聯起來的教學方式值得我們以后多多試驗。

參考文獻：

[1]丁琴.高中數學三角函數的圖像和性質的教學案例分析[J].數學學習與研究，2011（23）.

作者簡介：

傾轉莉，甘肅省臨夏回族自治州，康樂縣康樂中學。