夸克介子模型的相圖和表面張力*

沈婉萍 尤仕佳 毛鴻

(杭州師范大學物理系,杭州 311121)

1 引 言

量子色動力學是描述強相互作用的基本理論,可以用來描述夸克強子相變的動力學,特別是與量子色動力學相變緊密相關的手征對稱性恢復和退禁閉等問題.此外,量子色動力學相變的研究與目前正在進行的相對論重離子對撞實驗和致密星體的內部結構研究密切相關,它可以幫助人們深入理解和洞察夸克膠子等離子體的物理性質和揭示夸克強子相變的動力學機制[1?3].但是,量子色動力學是非阿貝爾的規范場論,由于理論存在漸近自由的性質和夸克幽禁的效應,使得在低能非微擾區域量子色動力學的直接理論和數值計算受到了極大的限制[4,5].為了克服這一問題,在低能非微擾能區,人們通常采用有效模型或者有效理論來研究量子色動力學真空的非微擾性質.比較常見的模型有Nambu-Jona-Lasinio (NJL) 模型[6?11],夸克介子模型(the quark-meson model)[12,13]和相對論平均場模型(the relativistic mean-field mode)[14?16]等.

夸克介子模型是最簡單的純夸克模型,該模型可以用來研究量子色動力學的手征相變動力學機制和對稱性自發破缺機制.基于有限溫度場論方法,在手征極限情況下和零夸克化學勢條件下,考慮兩個夸克味的模型預言了量子色動力學手征相變是二級相變,這一結論與基于普適性的一般結論是一致的.而當考慮了夸克質量不等于零的情況,模型準確地預言了在夸克化學勢密度較小的區域,量子色動力學手征相變是過渡相變,在夸克化學勢密度較大的區域,量子色動力學手征相變是一級相變,該方面的預言與NJL模型和基于格點量子色動力學的理論預言相一致.因此夸克介子模型是一個非常成功的低能有效模型.

為了從實驗上研究高密情況下的量子色動力學相變區域,美國的相對論重離子對撞機(RHIC)和正在計劃中的其他相對論重離子對撞機都正朝著高密度和低溫的相變區域進發,并對高密、低溫相變的理論研究提出了更高的要求.一級相變區域的范圍是多少? 當溫度從相對較高的臨界溫度降到低溫的時候,一級相變的相變速度是多少? 一級相變是緩慢的成核相變還是快速的亞穩均相分解相變? 諸如此類的問題,需要人們去認真仔細地研究.而在這些問題中,對于夸克相和強子相表面張力的研究,是一個非常關鍵和核心的問題.特別是關于表面張力的數值大小,將直接影響中子星的結構形成.

基于兩個味的夸克介子模型,文獻[17]研究了相對論重離子對撞實驗中一級相變的動力學,討論了一級相變的相變表面張力、一級相變的臨界半徑和相變的成核率等問題.不過,該文獻在模型的計算中選取了一個非常大的夸克介子耦合常數g,使得模型在整個相變區域都是一級相變,與目前格點量子色動力學和其他模型的理論預言不一致.另外,模型在具體的計算過程中,沒有考慮夸克的真空漲落和重整化效應,使得理論的預言缺乏實際可參考的價值和意義.為了解決上述兩個問題,本文選取與實驗相一致的理論參數,在考慮夸克的真空漲落和重整化效應的基礎上,重新計算了兩個味道的夸克介子模型的相圖和一級相變區域的表面張力,為今后相對論重離子對撞實驗和天體物理中致密星體結構的研究提供參考依據.

本文首先介紹兩個味的夸克介子模型,然后基于有限溫度量子場論方法,得到模型的有效勢能隨溫度和密度的變化關系,進而給出模型的相圖結構.在一級相變區域,利用薄壁(thin-wall)近似方法,計算了當溫度等于一級相變臨界溫度時,強子相表面張力隨化學勢密度的演變關系,為中子星結構形成和早期演化提供必要的參考依據.

2 夸克介子模型的有效勢能

首先,考慮介子與夸克耦合的兩個味道的夸克介子模型,其拉氏密度為[13]

其中q=(u,d) 為組分夸克場.這里,s介子和π介子具有對稱性自發破缺特征的勢能表達式為

標量場s和三個贗標量場π=(π1,π2,π3) 一起構成一個四分量的手征性場,定義其為Φ=(σ,π).在手征極限的情況下(不考慮夸克質量),H為零,該拉氏量在的手征變換下具有不變性.在真空態,模型滿足手征對稱性自發破缺的要求,此時介子場的真空期望值取為其中為介子衰變常數.如果考慮夸克的質量貢獻,那么模型具備手征對稱明顯破缺的特征,由PCAC (部分軸矢流守恒)關系可知:是π介子的質量.耦合常數l由s介子的質量確定:對于s介子的質量,通過查閱粒子數據組的最新結果可知,其取值在400 MeV到550 MeV之間,本文取mσ=500 MeV,對應有λ≈13.常數υ2滿足最后,模型的參數耦合常數g由真空中的組分夸克質量決定,Mq=gfπ,約為核子質量的 1/3 ,本文取g≈3.3.

在有限溫度場論的框架下,有限溫度、有限密度下的有效勢能是一個重要而有用的理論工具.考慮一個在溫度T和夸克化學勢μ≡μB/3 下處于熱力學平衡的熱力學巨正則體系,其巨正則配分函數為

接下來我們采用平均場近似法來計算上述的巨正則配分函數.首先,將s和π的介子場用它們的真空期待值替代,換句話說,我們忽略了介子場的量子和熱漲落效應.其次,將夸克和反夸克作為量子場,這樣在上述的積分中可以得到一個行列式.最后,根據量子場論標準的數學公式,計算該行列式,就可以得到體系的熱力學有效勢能.具體過程如下:

其中,

該巨正則配分函數中的費米積分產生了一個可以用標準方法計算的行列式,從而產生了介子的有效勢能.取該巨正則配分函數的對數,可以得到熱力學有效勢能的具體形式是:

其中夸克和反夸克的貢獻為

(7)式中第一項表示的是夸克的真空單圈貢獻,由于該積分是發散的,理論計算需要通過重整化來消除發散項,為了計算方便,在很多文獻中項經常被忽略.為了理論的完整性和計算的可靠性,在接下來的討論中,我們將考慮項的貢獻,即在模型的計算中加入真空的漲落和模型的重整化效應.利用維數正規化方法進行重整化,費米子真空單圈的重整貢獻為[18]

其中L是任意重整化標度.值得注意的是,熱力學勢和所有的物理觀測值都不依賴于L的選擇,通過重新定義模型中的參數可以很好地消除L的依賴性.故等式(7)右邊的第一項真空貢獻可以用等式(8)中給出的適當的重整化費米子真空貢獻代替.

3 夸克介子模型的相圖結構

在考慮了重整化效應和夸克真空漲落貢獻的前提下,通過求解關于s場的運動方程:可以得到在不同夸克化學勢密度條件下,s場的真空期望值隨溫度的演化行為.

圖1給出了在不同夸克化學勢密度下,s場的真空期望值隨溫度的變化關系.從圖1可以發現在μ<299 MeV的情況下,s場的真空期望值隨溫度的演化行為是連續變化的,只是當系統溫度接近手征相變臨界溫度Tc時,s場的真空期望值變化才比較明顯,且當溫度很大時,s場只是趨向于零,而不等于零,可以判斷此時的量子色動力學手征相變是過渡相變.而對于μ> 299 MeV的情況,當溫度接近手征相變臨界溫度Tc時,由于s場的真空期望值隨溫度的變化有一個明顯的躍變,即從一個相對大的數值直接跳到一個相對小的數值,表明此時的量子色動力學手征相變是一級相變.

圖1 在不同夸克化學勢密度條件下,s場的真空期望值隨溫度的演化行為Fig.1.Chiral condensate s as a function of temperature at various chemical potential.

為了更加準確地描述過渡相變和一級相變的相變特征,下面分別以這兩種相變的典型化學勢為例,給出s場的真空期望值與有效勢能?(σ,T,μ)直接的對應關系.對于0 MeV ?μ< 299 MeV時的過渡相變,以μ=0 MeV為例: 如圖2(a)所示,當溫度較小時,勢能曲線有兩個極小值和一個極大值,一個極小值位于s較小的位置,另外一個極小值位于s較大的位置,中間有一個局域的極大值,也就是在兩個極值之間有一個勢壘,s場的真空期望值由勢能最小時所對應的s值決定; 當溫度逐漸升高時,兩個勢能極小值所對應的s逐漸靠攏,當T=127 MeV時,兩個極小值之間的勢壘消失,此時模型的有效勢能只有一個極小值,此時的溫度稱為亞穩態分解溫度(spinodal temperature).由于對于過渡相變,嚴格來說兩相之間沒有一個嚴格的界限,所以此時的溫度還不能被定義成相變溫度,通常人們選擇圖1中s場的真空期望值對溫度T的一階導數的峰值作為相變溫度,也就是s場的真空期望值隨溫度變化最快的那個溫度作為過渡相變的臨界溫度,也就是T=152.6 MeV.

圖2 (a) μ=0 MeV和(b) μ=310 MeV時,有效勢能隨s場的演化行為Fig.2.Effective potential as a function of the chiral condensate s for (a) μ=0 MeV and (b) μ=310 MeV.

當299 MeV ?μ? 324 MeV時,可以觀察到一級相變的特征,以μ=310 MeV為例: 如圖2(b)所示,當溫度小于臨界溫度時,系統的有效勢能有兩個極小值,并且在這兩個極小值之間還存在一個勢壘,與過渡相變的情況類似,一個極小值位于s較小的位置,另外一個極小值位于s較大的位置;當系統溫度逐漸升高時,這兩個勢能極小值的高度差開始變得越來越小,等溫度達到臨界溫度時,兩個勢能極小值相等,臨界溫度Tc下勢能極小值均為–1.45 MeV,對應s場的真空期望值分別為32.16和89.63 MeV,與過渡相變不同的是,此時兩個極小值之間的勢壘還存在,并沒有消失,這個就是一級相變和過渡相變的本質區別; 當溫度大于臨界溫度Tc時,s場的真空期望值從一個相對較大的數值越變到相對較小的數值,從而實現從假真空到真真空的翻轉.

此外,當μ=μc=299 MeV時,系統從過渡相變演化到一級相變.當溫度等于臨界溫度Tc時,一級相變中的勢壘消失(這個條件作為一級相變消失的判據),勢能變成一個很平坦“U”形,并且,此時勢能曲線同時具有過渡相變和二級相變的部分相變特征.

圖3給出了量子色動力學相圖結構,對于夸克化學勢密度在0 MeV ?μ< 299 MeV區域,可以觀察到過渡相變,對于夸克化學勢密度在299 MeV?μ?324 MeV區域,可以觀察到一級相變.在兩個相變的交界處就是量子色動力學相變的相變臨界點(critical end point).如何從相對論重離子對撞實驗上尋找該相變臨界點和確認該相變臨界點的位置是當前高能核物理理論和實驗研究的熱點問題[19].

圖3 量子色動力學相圖結構Fig.3.The T-μ phase diagram in the quark meson model.

4 強子夸克相變的表面張力

對于一級相變,當體系的溫度達到相變臨界溫度時,模型的熱力學勢能具有兩個相等的極小值,并且這兩個極小值被一個勢壘分開.此外,由圖1可知,這兩個極小值所對應的s場的真空期望值分別對應一個大的數值和一個小的數值.如果體系的溫度進一步降低,那么s期望值較小的那個真空勢能將大于s期望值大的那個真空勢能,此時我們把前面那個真空稱為亞穩態真空(通常稱為偽真空),而把后面那個真空稱為穩定真空(通常稱為真真空).在經典物理中,雖然偽真空的能量高于真真空,但是由于兩個真空之間還有一個勢壘,故偽真空無法回到真真空.但是,對于一個量子體系,由于存在量子隧穿效應,偽真空還有一定的概率可以回到真真空,從而發生一級相變,并把多余的能量以相變潛熱的形式釋放出來.為了準確地描述該一級相變的相變動力學過程,我們借助液滴核合成唯象模型來描述夸克強子的一級相變[20?24].

在液滴核合成唯象模型中,由于存在漲落,會產生一系列新的、能量較低的真真空的泡泡(通常用一個球形泡泡來模擬強子相),然后通過這些泡泡的膨脹最終實現從偽真空到真真空的轉變.具體的完成過程如下: 由于偽真空的單位體積自由能密度高于真真空的單位體積自由能密度,泡泡在膨脹的過程中,體系的能量降低,但是,由于這些泡泡同時存在表面張力,又會束縛氣泡的膨脹,二者存在競爭關系.體積自由能與r3成正比,表面自由能與r2成正比,故存在一個臨界半徑rc,當rrc,體積自由能占主導地位,泡泡會一直膨脹直至占據整個系統,從而完成夸克相到強子相的完全轉變.

如果把真真空的泡泡看成是一個半徑為r的球形泡泡,那么體系總自由能的改變為

其中,e為偽真空與真真空的單位體積自由能密度之差;S是泡壁的表面能量密度,即兩相界面的表面張力.

在偽真空的環境下,大小不一的真真空泡泡,由于量子漲落和熱漲落隨機出現并消失,直至泡泡的半徑大于等于臨界半徑,然后這些泡泡就會一直膨脹下去,完成一級相變的相變過程,并把多余的體系自由能以相變潛熱的形式釋放到環境中.基于這個機制,單位時間單位體積的臨界泡泡成核率可以表示為[24]

其中,T為系統溫度.因子P通常比較難計算,為了計算方便通常采用簡單的量綱分析,用T4近似代替P.

利用歐幾里得空間的有限溫度場論方法,上述的成核率可以從下面的歐幾里得拉格朗日密度出發:

這里為了方便討論,我們把熱力學有效勢能重新定義為Veff(σ)=?(σ,T,μ).則體系的自由能表示為

將體系的自由能Fb對s進行變分,可以得到一個非線性微分方程,

并且該方程滿足的邊界條件為

式中,σf為偽真空下的s場的真空期望值.也就是說,遠離真真空泡泡的中心,體系處于亞穩態,相當于真真空的泡泡在偽真空中產生并膨脹.

對于一般有效勢Veff,在邊界條件(16)式下,通常不能通過解析方法得到(15)式的解析解,只能求助計算機得到該方程的數值解.但是,如果考慮真真空泡泡的尺寸比壁厚大得多的情況,或者偽真空與真真空的勢能差與介于兩個真空之間的勢壘相比小得多的情況,該情況也稱為薄壁(thinwall)近似,則方程式(15)中的第二項與第一項相比可以被忽略,即方程進一步簡化為

根據方程(11)和(18),泡泡的臨界半徑rc等于

這里ε=V(σ)?V(σf).將(19)式代入方程(11),可得Fb以e和S為變量的形式:

由此,一旦得到了體系的自由能Fb,就可以很容易估算出夸克強子一級相變的成核率G.

利用薄壁近似,圖4給出了當T=Tc時,夸克強子一級相變的表面張力隨夸克化學勢的變化.可知在一級相變區域,當化學勢增大時,強子相的表面張力也隨著化學勢增大.當溫度接近零時,強子夸克相變的表面張力約為12.6 MeV/fm2.在T→0的情況,本文理論預言與文獻[25]一致,但該文獻只是考慮T=0 的冷夸克物質的夸克強子一級相變.

圖4 T=Tc 時表面張力與夸克化學勢的演化關系Fig.4.Surface tension as a function of a quark chemical potential when T=Tc.

5 結 論

利用兩個夸克味的夸克介子模型,在有限溫度、有限夸克化學勢密度條件下,本文計算了模型熱力學有效勢能,通過求解該熱力學有效勢能對s場的變分,得到s介子場的運動方程,求解該運動方程得到s場的真空期望值隨溫度和密度的變化關系.我們發現,在高溫低密度區域,量子色動力學的相變是過渡相變,而在低溫高密度區域,量子色動力學的相變是一級相變,在過渡相變和一級相變的交界處存在一個相變的臨界點,我們稱之為CEP (critical end point).為了提供更加完整的理論結果,不同于其他文獻,我們在模型的計算中考慮夸克場的真空漲落和重整化效應,并且我們采用了一套廣泛應用并被實驗認可的模型參數來計算.特別是夸克場的真空漲落效應,通常會使得一級相變的相變區域變得很小,從而進一步推低夸克強子相變的強子相的表面張力的數值,而很小的表面張力數值,使得中子星在早期演化過程中產生更加復雜的中子星結構,比如中子星的混合相的出現,夸克星硬層的出現等物理現象[26].

考慮到基于夸克介子模型的熱力學性質計算結果與當前的格點量子色動力學計算差距較大,與當前的實驗觀測也有相當大的出入,故在該模型中我們考慮膠子的自由度,把夸克介子模型進一步推廣到Polyakov圈拓展的Polyakov-quark-meson model (PQM)模型[27?30].由于考慮了Polyakov圈拓展,需要在模型中引入另外兩個序參量,因此PQM模型具有三個序參量,在計算夸克強子相變表面張力時,需要同時求解三個非線性微分方程組[31],理論和數值計算將變得非常復雜和困難,特別是在這種情況下,薄壁近似將不再有效,只能采用數值計算來獲得表面張力的數值信息.目前,該方向的研究正在進行中.