中子星對自旋相關軸矢量新相互作用的約束*

高朋林 鄭皓 孫光愛?

1) (北京科技大學數理學院,北京 100083)

2) (中國工程物理研究院核物理與化學研究所,中子物理學重點實驗室,綿陽 621900)

1 引 言

近年來,隨著希格斯(Higgs)粒子[1,2]和引力波[3,4]的相繼發現,相對論和粒子物理標準模型這兩套20世紀基礎物理學中最偉大的理論模型在完成度上達到了空前的頂峰.但無論是相對論還是粒子物理標準模型都遠不是終極的理論,物理界對新物理的渴望前所未有.其中,探測超標準模型預言的新相互作用和其傳播子不僅對粒子物理,還對宇宙學、天體物理甚至凝聚態物理的發展至關重要.對于大質量(質量大于GeV/c2)、“強”相互作用的新媒介子(例如Z′粒子),實驗上可以使用大型強子對撞機進行探測[5–7]; 質量稍小(約MeV/c2)的新粒子可以在核物理實驗中精確測量[8].然而輕質量(質量小于keV/c2)、弱耦合的新相互作用粒子卻難以在上述實驗中被直接觀測,這其中就包括了近年來引起了廣泛關注的(類)軸子[9]、暗光子[10]等粒子.

費米子間通過交換質量不為零的相互作用玻色子可以產生短程勢能,其作用力程與玻色子的康普頓波長λc～1/m相當(為簡化表達式已使用自然單位制,后文如果沒有特別說明也將默認使用自然單位的表達式),而相互作用形式除了著名的湯川(Yukawa)勢外還包括了許多與費米子自旋有關的自旋相關勢.質量較輕的微觀粒子其康普頓波長一般可達O(nm) 或以上,交換這類粒子產生的有效勢能中自旋無關的部分實驗上表現為對引力的修正,因此大量針對引力的精密測量實驗能夠在多個尺度上對其作出嚴厲的限制[11].而對于其他自旋相關的勢能,Ramsey[12]通過探測費米子間非電磁類的異常自旋-自旋耦合相互作用首次在實驗中對其進行了約束.之后依照Ramsey的思路,研究人員對不同力程的費米子間自旋相關勢能進行了測量: 力程為(亞)原子尺度的自旋間新相互作用可以通過觀察其對類氫原子超精細能級結構的影響進行探測[13]; 力程為(亞)微米到米量級的自旋相關勢可以使用量子磁強計精確測量(自旋)極化的物體間的反常磁場來進行探測[14]; 宏觀(米以上到星球尺度)的新相互作用還可以利用地球內部大量的極化電子為源,通過檢測探測器與地球間的異常相互作用探測其大小[15].

此外,新近的研究發現,核子(中子、質子)間的新相互作用將會改變核物質的狀態方程,進而影響到原子核、中子星等微觀、宏觀物體的結構和性質.其中核子間通過交換自旋為1的矢量玻色子將會產生額外的排斥力,力的大小與核子的自旋無關且滿足湯川勢的形式,其存在將顯著地硬化核物質的狀態方程(即增大核物質的能量密度和壓強)、增大原子核的尺寸與中子星的最大質量等[16,17].另一方面,核子間通過交換軸矢量玻色子則會產生自旋相關的吸引相互作用.對于自旋飽和(即非極化)的核物質或大部分處于基態的原子核,因為其內部核子間通過自旋正反配對而總體上呈現出自旋中性,所以上述自旋相關的勢能對這類系統幾乎沒有影響.但中子星的表面磁場最強可達約1015G(1 G=10–4T),遠遠高于實驗室中能夠產生的磁場大小[18].在如此強的磁場環境中,中子星內的中子或質子將因為自身磁矩與磁場相互作用而被極化,其內部物質的凈自旋密度甚至高達約1038cm–3,約是實驗室中極化源的1016倍.因此可以預期中子星內核子間交換軸矢量玻色子產生的自旋相關力將會顯著改變中子星內極化核物質的狀態方程,進而影響中子星的結構和性質.

本文系統地推導了核子間通過交換軸矢量玻色子產生的自旋相關的新相互作用形式,并研究其對極化核物質穩定性的影響.理論上,無窮大核物質隨著其中重子數密度的降低將變得不再穩定而發生相變,由均勻的液相結團成為雜散的固相.這一過程被認為發生于中子星的殼、芯交界處,并導致了中子星內無窮大核物質組成的核物質芯與結團的核物質殼層分離,此時對應的重子數密度被稱為中子星的殼-芯轉變密度nt[19].本文的研究發現,額外的吸引相互作用將顯著地增大nt,并使得低密處的極化核物質變得不再穩定(內部壓強變為負數),從而加速上述相變過程的進行.此外計算中發現,隨著吸引相互作用的增強中子星物質甚至在發生殼-芯轉變前就率先到達零壓點,導致中子星殼層結構消失,整顆中子星將僅由一團裸露的液態核物質構成.然而普遍存在于中子星天文觀測中的星震現象從旁佐證了中子星殼層結構的存在[20,21].為了不與天文觀測事實相矛盾就必須對上述額外的吸引相互作用做出限制.因此,本文基于相對論平均場模型和曲率矩陣的算法研究了交換軸矢量玻色子對極化核物質狀態方程和穩定性的影響,結合天文觀測中星震現象給出的約束,限制了軸矢量玻色子與核子間的相互作用強度.經過計算后發現,中子星存在殼層結構的這一事實對力程λc∈[μm,cm]的新相互作用具有很強的限制,其約束強度比其他地面實驗給出的結果最多可有8個量級的提升.

本文結構安排如下: 第2節首先推導軸矢量新相互作用玻色子對核物質狀態方程的改變,進而討論其對中子星物質穩定性的影響; 第3節介紹天文觀測中的星震現象并描述其對新相互作用強度的約束; 最后在第4節中進行總結.

2 中子星物質狀態方程和穩定性的計算

中子星是在恒星演化晚期由超新星爆發產生的恒星遺跡之一.因為中子星將太陽質量的物質壓縮至半徑約十千米的范圍之內,所以其內物質遠超地面實驗室中所能達到的致密,這也使其成為觀測極端物理現象的重要場所之一.傳統的中子星模型認為中子星是由核物質組成的球體,其結構由內到外大致分為b穩定的核物質核芯、結團的核物質殼層和等離子體大氣等.此外,中子星內還存在極強的磁場,其表面磁場強度最高可達約 1015G,因此中子星內的物質還是高度極化的.

2.1 無窮大核物質的狀態方程

中子星99%以上的質量都是由核物質芯貢獻的,主要是由達到了b平衡而穩定存在的電中性n,p,e,μ (即中子、質子、電子和μ子)物質組成.其中中子和質子物質可以通過無窮大的均勻核物質模型描述,其性質由物質的狀態方程決定.

對無窮大核物質狀態方程的研究一直以來都是核物理領域的重要課題之一,其研究成果能夠廣泛地應用于對其他物理現象的計算與理解之中,是幫助物理學家更好地認識物理世界的重要工具[22].無窮大核物質(之后簡稱核物質)是一種由大量核子組成的理想流體系統,其中核子間由核力束縛而保持穩定.核物質的狀態方程一般被定義為核物質內的單核子結合能,對于無窮大的核物質系統其大小是中子、質子數密度(nn和np)的函數.

考慮到中子星內物質為相對論性的流體,本文使用非線性的相對論平均場模型(relativistic mean field model,RMF模型)結合參數化的有效核子間相互作用計算核物質的狀態方程.模型中描述核子間相互作用的有效拉氏量密度由下式給出[23]:

其中ωμν≡?μων??νωμ和ρμν≡?μρν??νρμ分別是w介子和r介子的場強度張量;ψ,σ,ωμ和ρμ則分別是核子場算符、同位旋標量-標量場算符、矢量場算符和同位旋矢量-矢量場算符(黑體符號代表其是同位旋空間的矢量);U(σ)=bσM(gσσ)3/3+cσ(gσσ)4/4是s場的自相互作用項,gσ,gω和gρ分別是各介子場與核子場的耦合強度,而ΛV則是ρ介子場與 ω 介子場間的相互作用耦合常數.此外,M,mσ,mω和mρ分別代表核子和各個介子的靜質量.

核子間通過交換軸矢量粒子 Z′產生的有效拉氏量密度等于:

其中mZ′ 是Z′介子的質量,是Z′介子的場強度張量,而則是其與核子間的有效耦合常數.

由方程(1)和方程(2)可以推出各介子場的運動方程(即歐拉-拉格朗日方程)滿足:

而核子場的運動方程則為

直接求解上述場的運動方程極其困難,因此在相對論平均場模型中假設可以忽略掉各個介子場的量子漲落和耦合效應,從而使用場強的期望值代替掉方程中的場算符即:其中是介子場在基態無窮大均勻核物質中的期望值.將其代入上述場的運動方程后得到簡化的運動方程(其中省略掉了介子場期望值的尖括號):

采用標準化的方法求解核子場的能量期望值進而計算其狀態方程參量.首先假設靜態均勻核物質中核子的場方程是核子動量的本征態,即

其中s代表核子的自旋算符.

另一方面,介子場運動方程中出現的各個核子場算符的期望值可以展開為核子數密度nn與np的函數:

對處于基態的核物質,核子數密度與核子動量的關系為

將上述方程代入介子場的運動方程后有

相較于傳統的RMF模型,包含Z′的貢獻后核子的標量密度和贗標量密度中M′是矩陣方程k·s的函數,s場與Z'場也因此耦合而難以嚴格求解.然而在一階近似下,將方程(25)對做微擾展開后有

其數值遠小于對應核物質密度(na,J?nJ).因此在一階近似下,有結論

因此M′≈M?,s場也不再與Z'場耦合,兩者可以各自獨立求解.

最后,核物質狀態方程中重子物質的能量密度為

其中RMF模型的能動張量根據定義為

展開上述表達式后有

同理,核物質壓強等于:

求解場方程(26)—(30)式后將各介子場的平均值代入上述方程即可得到取定質子、中子數密度后核物質的狀態方程ε=ε(nn,np)和P=P(nn,np).

2.2 中子星的轉變密度和零壓點

2.1 節討論了如何計算加入新相互作用后的核物質狀態方程.中子星內除了核物質外還有大量與質子、中子達到b平衡的輕子(電子、μ子)物質,因此中子星物質的狀態方程可以表示為[19]:

其中重子部分即為方程(35)和方程(36),輕子部分可以用自由費米氣體模型較好地估計:

其中

上述表達式里ml和nl分別是輕子的靜質量和數密度,l代表電子或μ子.

達到b穩定的核物質中各組分的化學勢μi(i分別代表質子、中子、電子和μ子)滿足條件

同理,根據電中性條件有

給定重子數密度nb,聯立求解上述兩個方程即可得到中子星各組分的數密度大小.因此對于電中性的b穩定核物質,其狀態方程只是重子數密度的函數.

圖1為中子星內物質的能量密度和壓強隨重子數密度的改變,其中重子部分相對論平均場參數使用了IU-FSU的相互作用參數[24],的有效耦合常數定義為可以看出新加入的軸矢量相互作用能夠顯著地改變狀態方程的行為: 有效耦合強度很弱時(即相互作用強度本身很小或是核物質未極化時)中子星物質的能量密度和壓強恒大于零且隨著重子密度的增大快速增長; 但隨著的增大,物質的壓強將先減小再增大,且當約為10 GeV–2時壓強在約為0.1 fm–3處變為零; 對于更大的壓強會先變為負數再增大為正(見圖1(a)內插圖).令(靠近高密方向的)零壓點對應的密度為

中子星內物質的密度從中心開始到與真空接觸的表面零壓點為止沿半徑向外逐漸減小.通常情況下當物質密度減小到某一臨界值時,無窮大均勻核物質將變得不再穩定并發生相變成為結團的核物質,內部無窮大均勻核物質部分被稱為中子星的核物質芯,外部結團的核物質部分被稱為中子星的殼層,因此相變點所對應的密度被稱為中子星的殼-芯轉變密度nt(簡稱轉變密度).本文通過判斷核物質曲率矩陣的正定性來計算轉變密度nt[25],其中曲率矩陣定義為核物質各組分化學勢對密度的偏導數(因為密度較小的b穩定物質中沒有μ子,因此曲率矩陣中沒有μ子相關項):

圖1 中子星物質狀態方程(能量密度、壓強)隨重子數密度的變化,其中軸矢量相互作用的有效耦合常數分別等于和30 GeV–2Fig.1.Equation of states inside neutron stars as a function of the baryon density for b-stable nuclear matter where the effective couplings to Z' field areand 30 GeV–2,respectively.

對于穩定的核物質,其對應的曲率矩陣滿足正定條件(即矩陣的三個本征值都大于零).因此轉變密度即對應曲率矩陣的本征值(之一)變為零時的情況.

最后,圖2為轉變密度nt與核物質零壓點所對應的密度的變化.其中當13 GeV–2時中子星內物質將在達到零壓點前變得不穩定而結團相變成為殼層; 然而當中子星物質將在保持穩定性的同時達到零壓點并形成表面.這時中子星將完全由裸露的無窮大核物質構成,不會再有殼層結構.

圖2 中子星殼-芯轉變密度(nt)與核物質零壓點(nc)隨的變化曲線Fig.2.Core-crust transition density nt as well as zero-pressure point density nc of nuclear matter as functions of

3 中子星對軸矢量新相互作用的約束

第2節最后對圖2的討論得出如下結論: 當軸矢量新相互作用滿足條件時中子星將不再出現殼層結構,而僅由裸露的核物質芯構成.這與中子星天文觀測中的“星震”模型矛盾.星震模型是對中子星天文觀測中glitch現象的理論解釋: 由于能量損耗,一般而言中子星的自傳周期將隨時間的推移而緩慢增加; 但在對很多中子星的自轉觀測中都出現了信號周期突然改變(一般是加速)的現象.星震模型中,由于在中子星固態殼層中發生了星震并引起了殼層物質的調整,導致殼層部分轉動慣量減小,而根據角動量守恒星體的自轉角速度將會突然加快.

然而一個無殼的中子星是無法發生星震的,因此反過來限制新相互作用強度滿足13.02 GeV–2.此外,強磁場下中子星內核物質的極化率可達因此星震現象對軸矢量新相互作用的約束是

圖3給出了上述約束(實線及以上的灰色區域),并將其與現有地面實驗對的約束進行了比較(虛線和點畫線畫出的區域).可以看到,中子星存在殼層的約束在力程從厘米到微米的四個量級范圍內遠強于地面實驗的約束,其中對于亞厘米量級力程的新相互作用(46)式給出的約束比現有實驗結果有最高8個量級的提升[13,14,26].

圖3 星震現象對軸矢量新相互作用的約束和其他地面實驗中所得約束的對比[13,14,26]Fig.3.Exclusion contour of the axial-axial couplings from the existence of neutron star crusts.We compare our constraints with other experiments as well[13,14,26].

4 結 論

中子星是宇宙中最為致密的物質形態之一,一直以來都是觀測各類極端物理現象的重要平臺.本文通過在傳統的相對論平均場模型框架下加入軸矢量新相互作用的貢獻,定量地研究了新相互作用玻色子對核物質狀態方程穩定性的影響.結果發現新相互作用粒子將會顯著地改變核物質的穩定性和對應的相變行為,且當新相互作用耦合常數滿足時核物質將在發生相變前率先到達零壓點.對于中子星來說上述行為意味著中子星內核物質將在保持穩定狀態的情況下直接形成表面與真空接觸,因此中子星將不會再有殼層結構出現.這與天文觀測中大量發現的星震現象矛盾,所以反過來要求新相互作用強度必須滿足的約束.這一約束在厘米到微米的力程范圍內遠強于其他地面實驗的結果,展示了天文觀測對新物理探測的強大影響.

感謝我的導師北京科技大學數理學院的巨新教授以及聯合培養導師核物理與化學研究所的龔建研究員在本文理論推導中所提供的幫助.