把握集合元素，解決集合問題

王曉云

在做集合習題時，經常需要探討集合中的元素的取值、取值范圍等問題，在分析集合元素的取值或取值范圍時，需要抓住一些要點.在解決集合問題之前，要從理解元素的分類出發，結合集合元素的特性，將集合問題轉化為其他的數學問題，從而解決問題，提高集合問題解答的效率.

一、理解集合中元素的分類

在做集合習題時，必須要了解元素的分類.因為組成集合的對象就是元素，所以在解集合問題之前需要將集合元素弄清楚，只有這樣，才能進一步地去探討集合問題.

例1?設集合A={平面上的直線}，B={平面上的圓}，則A∩B中的元素最多為幾個？

本題易錯誤地認為是2個.在解題時出現這樣的錯誤，是因為沒有理解元素的分類.本題的解題思路為直線與圓的關系分為相離、相切、相交.直線和圓相交時，交點有2點.這種解題沒有考慮集合的屬性和分類探討.根據題意可知，集合A探討的元素屬性是{平面上的直線}，集合B探討的屬性是{平面上的圓}，這兩種元素的屬性都不一樣，相交就為空集.即一個幾何圖形不可能既是平面上的直線又是平面上的圓，于是相交的結果就是空集.

從這一題中可以看到，在探討集合問題時，必須先分析集合中的元素是點集、數集、方程還是函數，只有了解了集合元素的屬性，才能探討集合元素的運算問題.

二、結合集合元素的特性

在分析集合元素時，要根據元素的特性來探討集合中有哪些元素.每一個元素都具有其本身的特性，為了保障集合問題的順利解決，在探討時，不能忽略其中的任何元素的特性，否則解答問題的時候就會出現錯誤.

例2?集合A={x|x2+（b+2）x+b+1=0，b∈R}，求集合A中所有元素之和.

這題最常見的錯解為：由x2+（b+2）x+b+1=0，得（x+1）（x+b+1）=0.現分類探討b的取值對集合A元素取值的影響：（1）當b=0時，x1=x2=-1，即方程有兩個相等的實根，此時A中的元素之和為-2.（2）當b≠0時，由韋達定理可知方程x2+2x+1=0有兩個不等的實根x1，x2，并且x1+x2=-b-2.綜合以上的探討可知集合A中元素之和為-b-2.

然而在以上的解題過程中，忽略了b=0時，x1=x2=-1.依集合元素的互異性，此時集合元素只有一個，即-1.通過這一則案例可以看到，在探討集合元素的問題，并且集合的元素中存在變量時，要分析變量的取值是否符合集合元素的所有性質，然后根據分析的結果去掉不符合元素特性的元素.

三、轉化為其他的數學問題

在分析集合元素時，有時需要把集合問題轉化為其他的數學問題，應用其它數學知識點的定理、公式來解決問題.在轉化集合問題時，必須分析轉化的結果是否是等價，有沒有改變集合中的元素.

例3?設集合M=（x，y）|y+1x-1=1，N=（x，y）|（a-1）x+y=1，并且M∩N=，求實數a.

本題最常見的錯解為：視集合M為直線y=x-2上的點的集合，視集合N為直線y=（1-a）x+1上的點的集合.根據M∩N=的條件可得兩直線平行，故得a=0.顯然，錯解忽略了在轉化集合M時x不能為1的情況.當x不能為1時，y便不能為-1，于是集合M中必須去除（1，-1）這個點.正確的思路為：視集合M為直線y=x-2上的點，但不包含（1，-1）.視集合N為直線y=（1-a）x+1上的點的集合.根據已知條件M∩N=的條件可得兩直線平行，那么可得1-a=1，解得a=0.當集合N過點（1，-1），也滿足M∩N=的條件，于是將（1，-1）代入方程y=（1-a）x+1，可得a=3.綜上，a=0或a=3.

四、驗證集合元素的端點取值

在探討集合運算問題時，如果集合的元素表現形式是函數，在分析函數的運算時，要驗證端點值是否成立.如果在探討集合元素時，忽略了這一步的驗證，則易造成錯解.

例4?已知集合A={x|x≥4，或x<-5}，集合B={x|a+1≤x≤a+3}，如果A∪B=A，求的取值范圍.

該題最常見的錯解為：根據已知條件A∪B=A可得BA，于是可得a+3≤-5，或者a+1≥4，于是可得a≤-8或a≥3.現如果把a=-8代入到已知條件中，會發現與已知條件沖突，于是a=-8為虛假答案.為什么會這樣？因為把A∪B=A變成BA這一步時，實際上包含著兩個可能性，即B=A或B≠A的問題.

在解答集合元素的取值或取值范圍的習題時，只有了解集合的意義、理解集合元素的特性、能正確完成集合的等價轉換、能根據集合運算的需求驗證極端取值的正確性，才能避免出現解題錯誤.