高中數(shù)學方程類問題解題思路研究

王海青

在新課程改革工作的進行過程中，高中數(shù)學越來越注重數(shù)學思維的培養(yǎng).數(shù)學是高中教學體系中的重要組成科目，是邏輯思維的體現(xiàn).在素質(zhì)教育的背景下，培養(yǎng)學生的數(shù)學應(yīng)用能力是數(shù)學教學的核心，也是學生需要掌握的應(yīng)試技巧之一.本文筆者從方程思想入手，對高中數(shù)學方程解題思路進行歸納和總結(jié).

一、從定義入手，與實際問題相結(jié)合

首先，如果同學們留心觀察方程的定義的話，就會發(fā)現(xiàn)從本質(zhì)上來講，方程其實首先就是一種等量關(guān)系，但是在這個等量關(guān)系中，數(shù)量是不確定的，所以用未知量x來表示，這就是方程思想的形成了.只要能夠使這個等式成立，就是正確的方程的解，而探求這兩個具體的數(shù)量的過程就叫解方程了，并且最終能夠使得等式成立的未知量x就叫作方程的“解”或是“根”. 所以在解決問題時若能巧妙地設(shè)定未知單位量k，就能輕松地列出方程求解.

例如，在硝酸鈉的溶解試驗中，測得在不同溫度下，溶解于100份水中的硝酸鈉份數(shù)的數(shù)據(jù)如下：

xi0410152129365168

yi66.771.076.380.685.792.999.4113.6125.1

描出散點圖并求其回歸直線方程.

解：建立坐標系，繪出散點圖如下：

由散點圖可以看出：兩組數(shù)據(jù)呈線性相關(guān)性.設(shè)回歸直線方程為：y=ax+b.

b=（x1-x）（y1-y）+（x2-x）（y2-y）+……+（xn-x）（yn-y）（x1-x）2+（x2-x）2+……+（xn-x）2

=x1y1+x2y2+……+xnyn-nx yx21+x22+……+x2n-nx2

=∑ni=1（xiyi-x y）∑ni=1（x2i-x2）.

a=y-bx.

x=26，y=90.14，x y=2343.76，x2=676，

∑x2i=10144，

∑xiyi=24628.6.

可求得：b=0.87，a=67.52，從而回歸直線方程為：y=0.87x+67.52.

我們不難發(fā)現(xiàn)，利用表格中的x、y的數(shù)據(jù)和b的計算公式能夠幫助我們解決方程中的未知量，最后只剩下一個a是我們需要求解的方程的根.所以這是一道非常直觀的方程求解問題，只需要耐心地細致計算，便能夠得出正確的答案.

二、利用方程性質(zhì)進行解題

通過以往的數(shù)學知識積累，從最初的一元一次方程這樣的直線方程再到圓這樣的曲線方程，可以說每一個方程都有它獨特的性質(zhì)特點.比如，在二次函數(shù)中，可以通過計算圖像和x軸的交點來判斷該二次函數(shù)的開口方向和有多少個根等，圓心的焦點坐標、對稱軸方程，以及雙曲線漸近線方程等.熟練掌握這些公式特征在解決問題的時候，學生就能夠敏銳地把題目中所給的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言和數(shù)學方程式進行求解.更重要的是通過這些特定方程的特點，還有助于二級結(jié)論的推理.例如，若圓的直徑端點A（x1，y1），B（x2，y2），則圓的方程為（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0;點（x，y）關(guān)于直線ax+by+c=0的對稱點坐標為：x-2A（Ax+By+C）A2+B2，y-2B（Ax+By+C）A2+B2……如果同學們能夠熟練地掌握這些二級結(jié)論，便能夠在做題的過程中更快速地進行求解.在解決方程類的問題時最重要的是要進行分析，首先要明確考查的知識點，并針對性地回憶相關(guān)知識，從已知推測未知，并且需要從多個角度進行分析探索，寫出可能出現(xiàn)的所有結(jié)果.其次，應(yīng)加強常見解題思路的練習，如“消元”“整體帶入”思想等，切實提高分析能力和解題效率.

綜上，同學們在遇到問題時，首先可以從基本定義下手，養(yǎng)成畫函數(shù)方程圖像的習慣，其次要熟練掌握方程的性質(zhì)，掌握方程性質(zhì)對于解決應(yīng)用問題非常必要.并且由于方程思想在許多其他章節(jié)的考查中均有體現(xiàn)，在新課改的號召下，高考數(shù)學的應(yīng)用模式更加多元化，考查內(nèi)容更加廣泛，所以熟練掌握同學們也要學會用方程思想去解決其他問題，將知識巧妙地融會貫通.