建立模型 巧妙解答

趙香云

“物塊由靜止沿光滑斜面滑到底端所用的時間及相關(guān)問題是一類求解比較費時，運算比較煩瑣的題目.但要利用“等時圓”模型處理的話，則能達到化繁為簡，省時易解之效果.

所謂“等時圓”，就是物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑細桿（或光滑斜面）由靜止下滑，到達圓周的最低點（或從最高點到達同一圓周上的各點）的時間相等，都等于物體沿直徑做自由落體運動所用的時間.

“等時圓”的三種典型情況：

甲

乙

丙

等時性證明：

設圓的半徑為R，則斜面長x=2Rsinθ，物體加速度a=gsinθ.

由運動學公式x=12at2可得t=2xt=4Rg.

由此可見，物體下滑的時間與傾角θ無關(guān)，等于物體沿直徑做自由落體運動所用的時間.

例?如圖1所示，在傾角為θ的斜面上方的A點處旋轉(zhuǎn)一光滑的木板AB，B端剛好在斜面上，木板與豎直方向AC所成角度為α，一小物塊從A端沿木板由靜止滑下，要使物塊滑到斜面的時間最短，則α與θ角的大小關(guān)系（）.

A.α=θ

B.α=θ2

C.α=2θ

D.α=θ3

常規(guī)解法：

過B點向AC作垂線，垂足為D，令AC長為h，BD長為x，則

h=xtanα+x·tanθ?①

木板AB的長L=xsinα?②

物塊下滑的加速度a=g·cosα?③

根據(jù)運動學公式知L=12at2?④

由①②③④得t2=4hcosθg[cosθ+cos（2α-θ） ] .

當cos（2α-θ）=1即α=θ2時，t有最小值.

下面，用“等時圓”來處理.

在AC上找一點O，以O點為圓心，作一圓，使A、B位于圓上且該圓與斜面相切于B點，如圖2所示.由“等時圓”可知該情形下物塊滑到斜面用時最短.θ為△OAB的外角，由幾何知識可知θ=2α.

利用該模型可以很巧妙地處理這種類型的問題.例如《大一輪復習講義》中的一道題目：為了使雨滴能盡快地淌離房頂，要設計好房頂?shù)母叨?設雨滴沿房頂流下時做無初速度無摩擦的運動，那么如圖所示的四種情況中符合要求的是（）.

A

B

C

D

利用“斜面模型”處理，要先受力分析.令斜面與水平面得夾角為θ，屋頂?shù)膶挾葹?L，求出加速度α=g·sinθ，利用運動學公式x=12at2，得t=4Lg·sin2θ，可知θ=45°時，用時最短.

而利用“等時圓”來處理的話，只要畫出圖來，答案就一目了然.解答如下：

過房頂頂點O作豎直線，以房頂寬度的一半L為半徑畫圓，分別與豎直線、水平線切于O、P兩點，如圖3所示.顯然，利用“等時圓”知，沿OP方向淌下用時最短，斜面與水平面夾角為45°，故選C項.

可見，在教學中要引導學生將問題進行分類，總結(jié)規(guī)律，建立模型，巧解問題，從而使學習高效化，真正達到培養(yǎng)學生學科素養(yǎng)的目的.