化歸思想在解題中的應用

張博原

化歸思想是解決數學問題的一種思維策略.化歸思想的精髓就是通過某種方法和手段將復雜或抽象的數學問題轉化為簡單或具體的數學問題，從而使數學問題得到解決.

一、化歸思想基本原則

無論是日常的學習還是考試，數學的題型豐富，解題方法多樣.但在多年的數學學習中，筆者發現化歸思想可以應用在多種題型中，如代數，幾何，等等.但在運用化歸思想解題時要遵循以下幾個原則.

第一，化陌生為熟悉.知識是相互聯系的，在面對陌生的數學問題時，應當利用先前解決其他數學題的經驗來解決陌生的問題，即將腦海中的新舊知識整合，尋找之間的關聯，從而利用舊知識解決新問題.第二，化復雜為簡單.該原則旨在將復雜的問題，通過整理關系結構或表達形式等手段將復雜的問題拆分成模塊，簡化問題的復雜程度，從而解決問題.第三，化抽象為具體.將抽象的關系用形象的方式表達，例如聯系實際、數圖結合等都是將抽象的數據變化為生活畫面或者圖形的手段，這樣可以更直觀地觀察要解決的問題.

二、化歸思想在解題中的應用

1.化陌生為熟悉原則在解題中的應用.

用舊的知識解決新的問題是快速解決問題的有效方式之一，常見的運用方法有降次化歸、消元化歸等，這些方法在初中就有接觸，也是高中最常用的解題步驟.在高中數學求點的坐標時，常用二元一次方程組求解，該求解過程就是消元化歸的典型應用.

例如，用消元化歸法對方程①5x+3y=11和②7x+4y=15組成一個二元一次方程組進行求解，通過②-①轉化就可以得到表達式③y=4-2x，將③代入①后，①方程從原本的有兩個未知數x，y變為④5x+3（4-2x）=11，因此可求得x=1，進而可得y=2.在解決此題的過程中，直接解二元一次方程比較困難，但是將二元化為熟悉的一元就會非常好解.

又如，用消元化歸對以下的抽象函數問題進行求解.已知定義在R上的奇函數f（x）和偶函數g（x）滿足f（x）+g（x）=ax-a-x+2（a>0，且a≠1），若g（2）=a，則f（2）為多少？根據題目可得①f（-x）+g（-x）=a-x-ax+2和②f（x）+g（x）=ax-a-x+2，又由于f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，則f（-x）=-f（x），g（x）= g（-x），將其帶入①+②可得g（x）=2，所以a=2.令x=2帶入①則得到f（2）的結果.在這一題中就是利用抽象函數的定義將f（x）消除，進而得到g（x），從而進行求解.

2.化復雜為簡單原則在解題中的應用.

化復雜為簡單就是將數學題化繁為簡.有時候當遇到一個條件非常多或公式非常復雜的數學題時就要思考是否要運用化繁為簡的化歸原則進行解題.下面以題為例.

已知x2+x-1=0，求x3+2x2+2009的值.從題目上看，給的已知條件少，但所求式的結構非常復雜，有三次方和二次方，而給的條件是二次方和一次方.因此，這個題目就要從結構上入手，將x3+2x2+2009通過降次化歸將該問題化為包含x2+x-1=0的形式.由x2+x-1=0可知x2+x=1，x3+2x2+2009可以表示為x（x2+x）+x2+2009，最終得x3+2x2+2009=2010.

3.化抽象為具體原則在解題中的應用.

在數學解題中，數形結合的解題方法充分利用了化抽象為具體的化歸原則，將抽象的數字用圖形表示出來.從人的思維方式發展的角度而言，形象思維比抽象思維出現得更早.因此，形象思維更簡單，更值觀，也可以說更為低級，所以在運用形象思維時更方便、更迅速.因此，將抽象的數字化為具體的圖像更利于解題.例如，已知集合A=[0，4]，B=[-2，3]，求A∩B.這種題可以運用數形結合的思想方法，利用數軸進行解答，將A和B的范圍在數軸上畫出，再找出兩者的交集區域即可.再例如，已知a>0，b>0，a≠b，試比較a2+b22和2aba+b的大小.這一問題就可以通過直角三角形解決，BC長為a，AC長為b，則a2+b2就表示AB，再通過設CM和CN為AB的中線和∠C的角平分線，然后再利用三角形面積公式等將這一問題解決.

在上述舉例中可以看出，化歸思想可以應用在多種題型中，并且存在于多種解題方法中.事實上，除了上述的三個化歸原則，還有化特殊為一般，化一般為特殊等原則，這些原則在許多問題中也能應用.除了上述的降次法、消元法、數形結合法，還有轉換法等.究其根本，都是運用了化歸思想，將陌生、復雜、抽象、特殊或一般的問題通過利用舊知識，將問題簡化從而使問題得到解決.